Дифференциалов свойства: Свойства дифференциалов, все формулы и примеры – 46. Дифференциал функции.

Содержание

Свойства дифференциалов, все формулы и примеры

1. Дифференциал константы равен нулю:

   

2. Дифференциал суммы функций равен сумме дифференциалов слагаемых:

   

Следствие. Если две функции отличаются на константу, то их дифференциалы равны:

   

3. Дифференциал произведения двух функций равен произведению дифференциала первой функции на вторую плюс первая функция на дифференциал второй:

   

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала:

   

4. Дифференциал частного двух функций и задается формулой:

   

5. Свойство независимости вида дифференциала от выбора независимой переменной (инвариантность формы дифференциала): дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал аргумента независимо от того, является ли этот аргумент независимой переменной или функцией другой независимой переменной.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Свойства дифференциала

1.dС = 0. 4. d(uv) = vdu + udv.

2. du) = C du. 5. d(u/v) = (vdu – u dv)/ v2.

3.d(u + v) = du +dv

Вопрос 11 Экстремум функции

Точка х0

называется точкой минимума функции ¦( х), если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство ¦( х) ³ ¦( х0).

Точка х1 называется точкой максимума функции ¦( х), если в некоторой окрестности точки х1 выполняется неравенство ¦( х) £ ¦( х1).

Значение функции в точках х0 и х1 называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

Необходимое и достаточное условие экстремума

Теорема (необходимое условие экстремума) Для того чтобы функция у = ¦(

х) имела экстремум в точке х0, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю (¦¢( х0) = 0) или не существовала.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, т.е. производная равна нулю или не существует, называются стационарными. Обращаем внимание на то, что эти точки должны входить в область определения функции.

Теорема (достаточное условие существования экстремума). Если при переходе через точку х0 производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка х0 есть точка максимума функции у =¦( х), а если с минуса на плюс, то — точка минимума.

Схема исследования функции на экстремум

Найти производную у¢ = ¦¢( х).

Найти стационарные точки функции, в которых производная ¦¢( х) = 0 или не существует.

Исследовать знак производной слева и справа от каждой стационарной точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.

Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Вопрос 12 поиск экстремума функций двух переменных

Как и в случае одной переменной, функция z = f (x,у) имеет узловые, определяющие структуру графика, точки.

Точка М0 (х0, у0) называется точкой максимума (минимума) функции z = f (x,у), если существует окрестность точки М такая, что для всех точек (

х, у) из этой окрестности выполняется неравенство:

Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть точка М0 (х0, у0) – есть точка экстремума дифференцируемой функции z = f (x,у). Тогда частные производные и в этой точке равны нулю. Если частные производные и сами являются дифференцируемыми функциями, то можно найти также и их частные производные, которые называются частными производными второго порядка.

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть функция z = f (x):

1) определена в некоторой окрестности стационарной точки (х0

0), в которой

2) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка (х0, у0) =А, (х0, у0) =(х0, у0) = В и (х0, у0) =С.

Тогда, если Δ=АС-В2>0, то в точке(х0, у0) функция имеет экстремум, причем, если А<0 – максимум, если А>0 – минимум.

В случае Δ= АС-В2 <0, функция экстремума не имеет.

Если Δ =АС-В2 =0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Схема исследование функции двух переменных на экстремум:

1) Найти частные производные

2) Решить систему уравнений, и найти стационарные точки функции.

3) Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой стационарной точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

Дифференциал функции.

  1. Дифференциалом аргумента называется его приращение dx = ∆x.

  2. Дифференциалом функции называется произведение производной на приращение аргумента dy = f′(x)∙∆x или dy =

    f′(x)∙dx.

Замечание:

Сравнение дифференциала с приращением.

Пусть y и ∆xодного порядка малости.

.dyи ∆xодного порядка малости, т. е.dyи ∆yодного порядка малости.

α∙∆x– бесконечно малая более высокого порядка малости, чем ∆x.

.Дифференциал есть главная часть приращения функции.

Дифференциал функции отличается от приращения функции на бесконечно малую

более высокого порядка, чем приращение аргумента.

Геометрический смысл дифференциала функции.

dy =f′(x)∙∆x=tgφ∙∆x=NT.

Дифференциал равен приращению ординаты касательной.

Свойства дифференциала.

  1. Дифференциал суммы равен сумме дифференциалов.

d(

u + v) = du + dv.

  1. Дифференциал произведения d(u v) = duv + u dv.

  2. Дифференциал сложной функции.

y = f(u), u = φ(x), dy = y′xdx =

dy = f ′(u) du – инвариантность формы дифференциала.

Дифференциалы высших порядков.

dy = f ′(x)∙dx, отсюда

Гиперболические функции.

Во многих приложениях математического анализа встречаются комбинации показательных функций.

Определения.

Из определений гиперболических функций следуют соотношения:

ch2x–sh2x= 1,sh3x= 2shx∙chx,ch3x=ch2x+sh2x,sh(α±β) =shαchβ±chαshβ.Производные от гиперболических функций.

Теорема Ролля.

Если функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a, b], имеет производную во всех внутренних точках этого промежутка и принимает на концах промежутка равные значения, то внутри промежутка найдется, по крайней мере, одна такая точка x = ξ, что f ′(ξ) = 0.

Геометрический смысл.

y

f(a) = f(b), kкас= 0.

A C B На гладкой дуге [a, b] найдется такая точка

f(a) f(b) С, в которой касательная параллельна хорде.

a ξ b x

Теорема Лагранжа (1736-1813, Франция).

Если функция определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a,b] и имеет производную во всех внутренних точках этого промежутка, то внутри этого промежутка найдется, по крайней мере, одна такая точка х = ξ, что f(b) – f(a) = f′(ξ)∙(ba).

Геометрический смысл теоремы Лагранжа.

Имеем гладкую дугу АВ.

На гладкой дуге АВ найдется такая точка С, в которой касательная параллельна хорде АВ.

Доказательство. Рассмотрим функциюF(x) = f(x) – λx. Подберем λ так, чтобы выполнялись условия теоремы Ролля.

  1. F(x) – определена и непрерывна на [a, b], т.к. определена и непрерывна функцияf(x),.

  2. F′(x)= f ′(x) – λ − существует,

  3. Подберем λ так, чтобы выполнялись условия F(a) = F(b), т.е.f(a) – λa = f(b) – λb,

По теореме Ролля найдется такая точка x =ξЄ (a, b), чтоF′(ξ) = 0, т.е.

Возрастание и убывание функции.

Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

y y

f(x1)

f(x1) f(x2)f(x2)

x1 x2 x x1 x2 x

x1 < x2, f(x1) < f(x2) x1 < x2, f(x1) > f(x2)

возрастающая функция, убывающая функция.

Признаки возрастания и убывания.

Если f′(x) > 0 для всех x, принадлежащих интервалу (a, b), то f(x) возрастает на этом интервале.

Если f′(x) < 0 всех x, принадлежащих интервалу (a, b), то f(x) убывает на этом интервале.

Доказательство. .

Причем x1<x2. По теореме Лагранжа имеемf(x2) –f(x1) =f′(ξ)(x2x1) > 0. Отсюдаf(x2) >f(x1) – функция возрастает на (a, b)

Аналогично для убывающей функции.

Дифференциал функции

Можно доказать, что если функция имеет при некоторой базе предел, равный конечному числу, то ее можно представить в виде суммы этого числа и бесконечно малой величины при той же базе (и наоборот): .

Применим это теорему к дифференцируемой функции: .

Отсюда .

Таким образом, приращение функции у состоит из двух слагаемых: 1) линейного относительнох, т.е.f`(x)х; 2) нелинейного относительнох, т.е.(x)х. При этом, так как, это второе слагаемое представляет собой бесконечно малую более высокого порядка, чемх.

Дифференциаломфункции называется главная, линейная относительнох часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменнойdy=f`(x)х.

Найдем дифференциал функции у = х.

Так как dy=f`(x)х =x`х =х, тоdx=х, т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.

Поэтому формулу для дифференциала функции можно записать в виде dy=f`(x)dх. Именно поэтому одно из обозначений производной представляет собой дробьdy/dх.

Frame11

Геометрический смысл дифференциала проиллюстрирован рисунком 3.11. Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку М(х, у). Дадим аргументу х приращение х. Тогда функция y = f(x) получит приращениеy = f(x +х) — f(x). Проведем касательную к графику функции в точке М, которая образует уголс положительным направлением оси абсцисс, т.е.f`(x) = tg. Из прямоугольного треугольника MKNKN=MN*tg=х*tg=f`(x)х =dy.

Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда х получает приращение х.

Свойства дифференциалав основном аналогичны свойствам производной:

1. dc = 0.

2. d(cu)=cdu.

3. d(u ± v) = du ± dv.

4. d(uv) = v du + u dv.

5. d(u/v) = (v du — u dv)/v2.

Однако, существует важное свойство дифференциала функции, которым не обладает ее производная – это инвариантность формы дифференциала.

Из определения дифференциала для функции y= f(x) дифференциалdy=f`(x)dх. Если эта функцияyявляется сложной, т.е.y= f(u), гдеu=(х), тоy= f[(х)] иf`(x) = f `(u)*u`. Тогдаdy= f `(u)*u`dх. Но для функцииu=(х) дифференциалdu=u`dх. Отсюдаdy= f `(u)*du.

Сравнивая между собой равенства dy=f`(x)dх иdy= f `(u)*du, убедимся, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от независимой переменной х рассматривать функцию от зависимой переменнойu. Это свойство дифференциала и получило название инвариантности (т.е. неизменности) формы (или формулы) дифференциала.

Однако в этих двух формулах все же есть различие: в первой из них дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной, т.е. dx = x, а во в торой дифференциал функции du есть лишь линейная часть приращения этой функцииuи только при малыхх duu.

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Выше было показано, что Frame11, т.е. приращение функцииу отличается от ее дифференциала dy на бесконечно малую величину более высокого порядка, чемх.

Поэтому при достаточно малых значениях хуdy или f(x +х) — f(x)f`(x)х, откуда f(x +х)f(x) +f`(x)х. Полученная формула будет тем точнее, чем меньшех.

Например, найдем Frame11

Итак, y=f(x) =x1/3. Возьмемx= 125,х =0,27.

f `(x) = (x1/3)`= 1/(3x2/3)

f(125,27) = f(125 + 0,27)  f(125) + f `(125)*(0,27) = Frame11= 5 + 0,27/(3*25) = 5,0036

Например, найдем tg 46о.

Итак, y=f(x) =tgx. Возьмемx= 45o=/4,х =1o=/180.

f`(x) = (tgx)`= 1/cos2x

f(46o) = f(/4 + /180)  f(/4) + f `(/4)*(/180) = tg(/4) + + (1/ cos2(/4))*(/180) = 1 + (1/(2/2)2)*(/180) = 1 + /90 ( 1,035)

Кроме того, с помощью дифференциала может быть решена задача определения абсолютной и относительной погрешностей функции по заданной погрешности нахождения (измерения) аргумента.

Пусть необходимо вычислить значение данной функции у = f(x) при некотором значении аргумента х1, истинная величина которого неизвестна, а известно лишь его приближенное значение х с абсолютной погрешностью |х| = |х — х1|. Если вместо истинного значенияf(x1) взять величинуf(x), то абсолютная ошибка функции будет равна |f(x1) -f(x)| = |y|dy=f`(x)х.

При этом относительная погрешность функции y= |y/y| при достаточно малыхх будет равнаFrame11, где Ех(y) – эластичность функции, ах= |x/x| — относительная погрешность аргумента.

Дифференциалы высших порядков.

Определение 3.2. Дифференциалом второго порядка функции u = f (x, y, z) называется

Аналогично можно определить дифференциалы 3-го и более высоких порядков:

Определение 3.3. Дифференциалом порядка k называется полный дифференциал от дифференциала порядка (k – 1): d k u = d (d k1 u).

Свойства дифференциалов высших порядков.

  1. k-й дифференциал является однородным целым многочленом степени k относительно дифференциалов независимых переменных, коэффициентами при которых служат частные производные k-го порядка, умноженные на целочисленные постоянные (такие же, как при обычном возведении в степень):

.

  1. Дифференциалы порядка выше первого не инвариантны относительно выбора переменных.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Производная функции по направлению. Градиент и его свойства.

Пусть функция z = f (x, y) является дифференцируемой в окрестности точки М (х0 , у0). Тогда ее частные производные иявляются угловыми коэффициентами касательных к линиям пересечения поверхностиz = f (x, y) с плоскостями у = у0 и х = х0, которые будут касательными и к самой поверхности z = f (x, y). Составим уравнение плоскости, проходящей через эти прямые. Направляющие векторы касательных имеют вид {1; 0; } и {0; 1;}, поэтому нормаль к плоскости можно представить в виде их векторного произведения:n = {-,-, 1}. Следовательно, уравнение плоскости можно записать так:

, (4.1)

где z0 = .

Определение 4.1. Плоскость, определяемая уравнением (4.1), называется касательной плоскостью к графику функции z = f (x, y) в точке с координатами ( х0 , у0 , z0 ).

Из формулы (2.3) для случая двух переменных следует, что приращение функции f в окрестности точки М можно представить в виде:

или

(4.2)

Следовательно, разность между аппликатами графика функции и касательной плоскости является бесконечно малой более высокого порядка, чем ρ, при ρ→0.

При этом дифференциал функции f имеет вид:

,

что соответствует приращению аппликаты касательной плоскости к графику функции. В этом состоит геометрический смысл дифференциала.

Определение 4.2. Ненулевой вектор, перпендикулярный касательной плоскости в точке М (х0 , у0) поверхности z = f (x, y), называется нормалью к поверхности в этой точке.

В качестве нормали к рассматриваемой поверхности удобно принять вектор

n = {,,-1}.

Line 13z

Freeform 17Freeform 18Line 20Line 21

z= f (x,y)

Line 23Line 24M0 (x0,y0,z0)

Line 22n

Line 14Line 15Line 25Line 26y

M (x0 , y0)

x

Пример.

Составим уравнение касательной плоскости к поверхности z = xy в точке М (1; 1). При х0 = у0 = 1 z0 =1; Line 26. Следовательно, касательная плоскость задается уравнением:z = 1 + (x – 1) + (y – 1), или x + yz1 = 0. При этом вектор нормали в данной точке поверхности имеет вид: n = {1; 1; -1}. Найдем приращение аппликат графика функции и касательной плоскости при переходе от точки М к точке N(1,01; 1,01).

Δz = 1,01² — 1 = 0,0201; Δzкас = (1,01 + 1,01 – 1) – (1 + 1 – 1) = 0,02. Следовательно,

dz = Δzкас = 0,02. При этом Δz dz = 0,0001.

Дифференциал функции.

Переобзовем приращение независимой переменной х дифференциалом этой переменной, обозначив его как dx, то есть для независимой переменной по определению будем считать

Теперь

Назовём дифференциалом функции у=f(х) выражение

Обозначив его символом dy или df (х) по определению будем иметь

Последняя формула называется «формой» «первого» дифференциала. Забегая вперед приведём и объясним «архиважнейшее» свойство дифференциала — так называемую инвариантность (неизменность) его формы. Итак

Форма дифференциалане зависит(инвариантна) от того, является лихнезависимой переменной, или же этах— зависимая переменная — функция.

Действительно, пусть , то есть у — сложная функция «от t» По определению дифференциала имеем. Но

.

Поэтому

,

то есть опять имеет ту же форму.

Однако «суть» (а не форма) дифференциала в этих двух случаях разная. Чтобы это объяснить выясним сначала геометрический смысл дифференциала и некоторые другие его свойства. Из приведенного ниже рисунка видно, что дифференциал является частью приращения ∆у. Можно показать, что dy, есть главная и линейная часть ∆у. Главная в том смысле, что разность ∆у – dy есть величина бесконечно малая высшего, что ∆х порядка малости, а линейная в смысле линейности своей зависимости от ∆х.

Можно сказать также, что дифференциал есть (смотри рисунок) соответствующее приращение ординаты касательной. Теперь объяснима и разница в сути и значении дифференциальной формы при независимом и зависимом аргументе. В первом случае dx есть все приращение ∆х. С помощью определения легко доказываются и

Арифметические свойства дифференциала

  1. ; 2. ; 3..

Определим теперь

Производные и дифференциалы высших порядков.

По определению — вторая производная;— третья производная и вообще- n – ая производна функции.

Примеры

1.

2.

;

; …

Точно также по определению

; — второй дифференциал; — третий дифференциал и вообще — n – ый дифференциал функции. Можно

показать, что

Примеры:

  1. ,

  2. .

Приложения производных к исследованию функций.

В

ажнейшей теоремой, на которой базируется почти все методы исследования функций, являетсятеорема Лангранжа: Если функция f (ч) непрерывна на отрезке (а, b) и дифференцируема во всех внутренних его точках, то найдется такая точка, что

Геометрически (рис. 6) теорема утверждает, что на соответствующем интервала найдется точкатакая, что угловой коэффициент касательной к графику в точкеравен угловому коэффициенту секущей, проходящей через точкии.

Другими словами, для «куска» графика описанной в теореме функции, найдется касательная, параллельная секущей, которая проходит через граничные точки этого куска. Из этой теоремы в частности следует замечательное правило раскрытия неопределенностей типа так называемой правило маркиза Лопиталя [L’Hôpital]: Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в точке а и некоторой её окрестности f(а) = g(а) = 0, а f'(а) и g'(а) не равны нулю одновременно то .

Замечания: Можно показать, что 1. Правило применимо и для раскрытия неопределенности типа ; 2. Еслиf'(а) = g'(а) = 0 или ∞, а f»(а) и g»(а) существует и не равны нулю одновременно, то .

Пример:

Спомощью теоремы Лангранжа можно доказать и достачныц признак монотонности функции:

Если на интервале (а, b) тоf(x) возрастает (убывает) на этом интервале.

Следует отметить, что знако постоянство производной является и необходимым признаком монотонности. А уже из этих признаков можно вывести:

а) необходимый признак существования экстремума

Для того чтобы точка х0 была точкой максимума (минимума), необходимо, чтобы f'(x0) либо была равна нулю, либо не существовала. Такие точки х0, в которых f'(x0) = 0 или не существуют называют критическими.

б) достаточный признак существования экстремума:

Если (см. рис.) при переходе через критическую точку х0 производная f'(x) функции меняет знак, то эта точка — точка экстремума. Если, при этом, f'(x) меняет знак с «+» на «- « , то х0 — точка максимума, а если с «-« на «+», то точка х0 — точка минимума.

И наконец, приведем еще один признак, использующий понятие производной. Это

Достаточный признак выпуклости (вогнутости) графику функции «над» интервалом (а, b).

Если на интервале (а, b) производная f»(x)>0 то график f(x) вогнут, а если f»(x)< 0, то график является выпуклым «над» этим интервалом.

Полная схема исследования функции может теперь выглядеть следующим образом:

Схема полного исследования функции

  1. Область определения интервала знакопостоянства.

  2. Асимптоты.

  3. Четность, периодичность.

  4. Интервалы монотонности, экстремумы.

  5. Выпуклость, вогнутость.

  6. График функции (с выше найденными контрольными точками).

2. Пример: Исследовать и построить график функции

.

  1. .

  2. а) х = 4 — вертикальная асимптота;

б) ,

в) у = х + 8 — наклонная асимптота,

  1. = — значит данная функция «общего вида».

Приравнивая производную к нулю и выяснив её знаки на образовавшихся интервалах постоянства, получаем таблицу:

х

-∞, — 2

-2

-2, 1

1

1, 4

4

4, 13

13

13, ∞

у’

+

0

0

+

не сущ.

0

+

у

возр.

0,75

убыв.

0

возр.

не сущ.

убыв.

32

возр.

асс.

  1. — точка перегиба.

  2. График функции изображен на рисунке.

§ 20. Дифференциал функции одной переменной

115

20.1Дифференциал и его геометрический смысл

 

Рассмотрим функцию y = f (x) ,

 

которая определена и непрерывна в

точке x0

и некоторой ее окрестности и дифференцируема в точке x0 .

 

Функция дифференцируема, следовательно, существует ее производная

 

 

 

 

 

 

f ′(x0 ) = lim

f .

 

 

 

По теореме 1 § 11 имеем:

 

 

 

 

 

x→0

x

 

 

 

 

 

 

f = f ′(x0 ) +α(x) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где α(x)

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– б/м функция при x → x0 , следовательно,

 

 

 

 

f = f ′(x0 ) x +α(x) x = f ′(x0 ) x + β(x) ,

где

β(x)

– б/м функция при

x → x0

(

x → 0 ),

большего порядка малости,

чем

x . Таким образом, получили:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим:

 

 

f

= f ′(x0 ) x + β(x) .

(1)

β(x)

 

 

 

α(x)

x

 

 

 

α(x)

 

 

 

lim

 

= lim

= lim

= 0 ,

 

 

f ′(x0 )

x

f ′(x0 ) x

 

 

 

x→0

 

x→0

 

x→0

f ′(x0 )

следовательно, функция β(x)

сильнее стремится к нулю. Основной вклад в

разложение (1) делает первое слагаемое.

 

 

 

 

 

 

df = f ′(x0 ) x – главная часть разложения приращения функции по x .

 

Пусть приращение функции представимо в виде:

 

 

 

 

 

 

f = A

x + β(x) ,

 

(2)

где

β(x)

– б/м функция при

x → x0

(

x → 0 ),

большего порядка малости,

чем

x . Покажем,

что функция f (x)

в этом случае дифференцируема. Дей-

ствительно:

f =

 

 

β(x)

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

A +

 

lim

= A + 0

 

 

 

x

 

 

x

 

 

x

→0

x

 

 

 

(т.к.

β(x) стремится к нулю быстрее,

чем

x ), следовательно, существует

производная

f ′(x0 ) = A .

Если функция представима в виде (2), то говорят, что функция дифференцируема.

Определение. Дифференциалом функции называется величина, про-

порциональная бесконечно малому приращению аргумента x и отличающаяся от соответствующего приращения функции на бесконечно малую величину более высокого порядка чем x .

Дифференциал функции y = f (x) обозначается через dy или df (x) .

116

Необходимым и достаточным условием существования дифференциала функции y = f (x) в точке x0 служит существование ее производной в этой

точке, и тогда

df = f ′(x0 ) x .

Определение. Приращение x независимой переменой x называют ее дифференциалом dx , т.е.

x = dx .

Таким образом,

Дифференциал функции равен ее производной, умноженной на дифференциал независимой переменной, т.е.

df = f ′(x0 ) dx .

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию дифференциала функции

y = f (x)

(рис.

3.25). Т.к.

f ′(x0 ) = tgα , то дифференциал df

= f ′(x0 ) dx из-

меряет отрезок RT .

 

Дифференциал

df

функции

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = f (x) в точке

x0 численно равен

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M ′

 

 

 

приращению ординаты касательной,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

построенной к графику функции в

 

 

 

T

 

 

f

точке (x0 ; f (x0 ) ), соответствующе-

 

 

 

α df

 

 

 

му изменению аргумента x от значе-

 

M

 

 

 

ния x

до значения x

+ x .

 

 

 

 

 

 

 

R

 

0

 

0

 

 

f (x)

 

 

 

 

 

 

Приращение

функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

изображается приращением

 

ордина-

 

x0

x0 +

x

 

O

x ты точки линии (отрезок RM ′). По-

 

 

Рис. 3.25

этому разность между дифференциа-

 

 

лом и

приращением

изображается

 

 

 

 

 

 

 

отрезком M ′T , заключенным между линией и касательной к ней; длина это-

го отрезка является при x → 0 бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем длина отрезка MR .

20.2Свойства дифференциала функции

1)d( f (x) ± g(x)) = ( f (x) ± g(x))′ dx = ( f ′(x) ± g′(x)) dx =

=f ′(x) dx ± g′(x) dx = df (x) ± dg(x) .

Таким образом,

 

d( f (x) ± g(x)) = df (x) ± dg(x) .

 

2) d( f (x) g(x)) = ( f (x) g(x))

dx = ( f (x) g(x) +

f (x) g (x)) dx =

 

 

f (x) g(x) dx + f (x) g (x) dx = g(x) df (x) + f (x) dg(x) .

Таким образом,

d( f (x) g(x)) = g(x) df (x) + f (x) dg(x) .

117

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

3)

d

 

f (x)

 

=

f (x)

 

dx =

 

(x) g(x) − f

(x) g (x)

dx =

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

(x)

 

 

 

 

 

 

g(x)

g(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

g(x) df (x) − f (x) dg(x)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g 2 (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g(x) df (x) − f (x) dg(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

f (x)

 

=

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

2

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g(x)

 

 

 

 

 

20.3 Дифференциал сложной функции. Свойство инвариантности

Рассмотрим свойство дифференциала функции, вытекающее из правила дифференциала сложной функции.

Пусть y = f (u) и u =ϕ(x) – непрерывные функции своих аргументов, имеющие производные по этим аргументам f ′(u) и ϕ′(x) . Если обозначить F(x) = f [ϕ(x)], то y′ = F′(x) = f ′(u) ϕ′(x) . Умножая обе части уравнения на

dx , получим:

dy = f ′(u) ϕ′(x) dx ,

но ϕ′(x) dx = du , и значит,

dy = f ′(u) du ,

т.е. дифференциал dy имеет такой же вид, как если бы величина u была бы независимой переменной.

Дифференциал функции y = f (u) сохраняет одно и то же выражение,

независимо от того, является ли ее аргумент u независимой переменной или функцией от независимой переменной.

Это свойство называется инвариантностью (т.е. неизменностью) фор-

мы дифференциала.

20.4 Приближенное вычисление с помощью дифференциала

Пусть в точке x0 производная функции y = f (x) отлична от нуля:

f ′(x0 ) ≠ 0 . Тогда

f = f ′(x0 ) dx +α(x) = df +α(x) ,

где α(x) – б/м величина при x → 0 более высокого порядка, чем dx .Но при указанном условии она будет б/м величиной более высокого порядка и чем

df и

f . Действительно, при x → 0 имеем:

 

 

 

 

 

 

lim

α(x) =

lim

α(x)

 

= 0 ,

 

 

 

 

f ′(x0 ) dx

 

 

α(x)

 

x→0

df

x→0

 

ибо

lim

= 0 , а

f ′(x0 ) ≠ 0 . Значит,

f и df

отличаются друг от друга на

 

x→0

dx

 

 

 

 

 

 

 

118

бесконечно малую величину более высокого порядка, чем они сами, и, следовательно, они эквивалентны:

 

dy ~

y .

 

Отсюда получаем приближенную формулу вычисления:

 

f = f (x0 + x) − f (x0 ) ,

f ≈ df , следовательно,

 

f (x0 + x) ≈ f (x0 ) + df

= f (x0 ) + f ′(x0 ) x .

(3)

Формула (3) называется формулой приближенного вычисления с помощью дифференциала.

Пример 1.

Вычислить приближенно

sin(0,1) .

Решение.

Имеем:

f (x) = sin x ,

 

x0 = 0 ,

x = 0,1. Тогда:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin(0,1) = sin(0 + 0,1) ≈ sin(0) +sin (0) 0,1 = 0 + cos(0) 0,1 = 0,1.

Пример 2.

Вычислить приближенно

arctg 0,99 .

Решение.

Имеем:

f (x) = arctg x ,

x0 =1,

x = −0,01. Тогда:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg (0,99) = arctg (1 −0,01) ≈ arctg(1) + arctg (1) (−0,01) .

 

1

 

 

1

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

arctg (1) =

 

 

 

 

= 2 ,

arctg(1) = 4

, следовательно,

1

+ x2

 

x=1

 

 

 

 

arctg(0,99) ≈ π + 1 (−0,01) =

π

−0,005 .

 

 

 

4

2

 

 

4

 

 

20.5 Дифференциалы высших порядков

Пусть дана дифференцируемая функция y = f (x) . Тогда df = f ′(x) dx .

Определение. Дифференциалом второго порядка функции f (x) на-

зывается дифференциал от функции (df (x)) : d 2 f = d(df (x)) . Аналогично:

Дифференциалом n -го порядка называется дифференциал от дифференциала (n −1) -го порядка как функции x : d n f = d(d n−1 f (x)) .

Найдем выражение второго дифференциала функции

y = f (x) . Т.к.

dx = x

 

не зависит от

x ,

то при дифференцировании считаем dx постоян-

ным:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

2

 

′′

′′

 

2

.

 

f = d ( f (x) dx) =

( f (x) dx) dx =

f (x) dx dx =

f (x) dx

 

Аналогично:

d n f

= f (n) (x) dxn .

 

 

 

 

 

Отсюда находим, что

f (n) (x) = d n f .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dxn

 

 

 

 

 

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *