Дифференциалы это: 403 — Доступ запрещён – ДИФФЕРЕНЦИАЛ — это… Что такое ДИФФЕРЕНЦИАЛ?

Содержание

Внешний дифференциал — это… Что такое Внешний дифференциал?

Дифференциа́льная фо́рма порядка k или k-форма — кососимметрическое тензорное поле типа (0,\;k) на касательном расслоении многообразия.

Дифференциальные формы были введены Картаном в начале XX века.

Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, симплектической геометрии, квантовой теории поля.

Пространство k-форм на многообразии M обычно обозначают Ωk(M).

Определения

Инвариантное

В дифференциальной геометрии, дифференциальная форма степени k — это гладкое сечение k-ой внешней степени кокасательного расслоения многообразия.

Через локальные карты

k-формой на \mathbb{R}^n будем называть выражение следующего вида

\omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}f_{i_1i_2\ldots i_k}(x^1,\ldots,x^n)\,dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}

где f_{i_1i_2\ldots i_k} — гладкие функции, dxi — дифференциал i-ой координаты xi (функция от вектора, возвращающая его координату с номером i ), а \wedge — внешнее произведение. При смене координат, это представление меняет форму.

На гладком многообразии, k-формы могут быть определены как формы на картах, которые согласованы на склейках (для точного определения согласованности см. многообразие).

Связанные определения

  • Для k-формы ωk, её внешний дифференциал это (k + 1)-форма
  • d\omega^k=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}\sum_{1\leqslant j\leqslant n}\frac{\partial f_{i_1i_2\ldots i_k}}{\partial x^j}(x^1,\;\dots,\;x^n)\,dx^j\wedge dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}
  • Дифференциальная форма называется замкнутой, если её внешняя производная равна 0.
  • k-форма называется точной, если её можно представить как дифференциал некоторой (k-1)-формы.
  • Факторгруппа H^k_{dR} = \bar\Omega_{k} / d\Omega_{k-1} замкнутых k-форм по точным k-формам называется k-мерной группой когомологий де Рама. Теорема де Рама утверждает, что она изоморфна k-мерной группе сингулярных когомологий.
  • Внутренней производной формы ω по векторному полю \mathbf{v} называется форма
i_\mathbf{v} \omega (u_1, \dots, u_n) = \omega(\mathbf{v}, u_1, \dots, u_n)

Свойства

  • В локальных координатах, дифференциальная форма может быть записана как
    \omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}f_{i_1i_2\ldots i_k}(x^1,\;\ldots,\;x^n)\,dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}
где dxi — дифференциал i-ой координаты xj, а \wedge — внешнее произведение.
  • Дифференциальную форму можно рассматривать как поле полилинейных кососимметрических функций от k векторов.
  • Внешнее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница:
    \ d (\omega^k \wedge\omega^p) = (d\omega^k) \wedge\omega^p + (-1)^{k}\omega^k \wedge(d \omega^p)
  • Для любой формы справедливо d(dω) = 0.
  • теорема Стокса — является основой для большинства применений дифференциальных форм.
  • Внутреннее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница. Оно связано с внешним дифференцированием и производной Ли формулой гомотопии:
    d i_\mathbf{v} + i_\mathbf{v} d = L_\mathbf{v}

Примеры

  • С точки зрения тензорного анализа, 1-форма есть не что иное как ковекторное поле, то есть 1 раз ковариантный тензор, заданный в каждой точке p многообразия M и отображающий элементы касательного пространства Tp(M) в множество вещественных чисел \R:
    \omega(p): T_p (M)\rightarrow \R
  • Форма объёма — пример n-формы на n
    -мерном многообразии.
  • Симплектическая форма — замкнутая 2-форма ω на 2n-многообразии, такая что \omega^n\not=0.

Применения

Векторный анализ

Через дифференциальные формы возможно представить основные операторы в векторном анализе Пусть I — канонический изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами, и σ — канонический изоморфизм между 2-формами и векторными полями на M. Благодаря этому можно определить дифференциальные операции с векторными полями на M. Тогда ротор и дивергенцию для полей на \R^3 можно представить как

\operatorname{rot}\,v = \sigma\circ d\circ I (v)
\operatorname{div}\,v = \sigma\circ d\circ \sigma (v)

Дифференциальные формы в электродинамике

Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм. Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:

\textbf{F} = \frac{1}{2}F_{ab}\, {\mathrm d}x^a \wedge {\mathrm d}x^b.

Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория. 3-форма тока имеет вид

\textbf{J} = J^a \varepsilon_{abcd}\, {\mathrm d}x^b \wedge {\mathrm d}x^c \wedge {\mathrm d}x^d.

В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как

\mathrm{d}\, {\textbf{F}} = \textbf{0}
\mathrm{d}\, {*\textbf{F}} = \textbf{J}

где * — оператор звезды Ходжа. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.

2-форма * \mathbf{F} также называется 2-формой Максвелла.

Гамильтонова механика

С помощью дифференциальных форм можно сформулировать гамильтонову механику чисто геометрически. Рассмотрим симплектическое многообразие M с заданными на нём симплектической формой ω и функцией H, называемой функцией Гамильтона. ω задаёт в каждой точке X \in M изоморфизм I касательного TXM и кокасательного T^{*}_{X}M пространств по правилу

dH( \mathbf{u} ) = \omega ( I dH, \mathbf{u}), ~~ \forall\mathbf{u} \in T_{X}M,

где dH — 1-форма дифференциала функции H. Векторное поле IdH на многообразии называется гамильтоновым полем, а соответствующий ему фазовый поток — гамильтоновым потоком. Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую форму, а следовательно, сохраняет и любую её внешнюю степень. Отсюда следует теорема Лиувилля. Скобка Пуассона функций F и G на M определяется по правилу

[F,G] = ω(IdF,IdG)

Вариации и обобщения

Помимо вещественно- и комплекснозначных форм, часто также рассматриваются дифференциальные формы со значениями в векторных расслоениях. В этом случае в каждой точке задается полилинейная антисимметричная функция от k векторов из касательного расслоения, возвращающая вектор из слоя над этой точкой. Формально внешние k-формы на M со значениями в векторном расслоении \pi\colon E \to M определяются как сечения тензорного произведения расслоений

\left(\bigwedge^k T^*M\right) \otimes_{M} E

Частный случай векторнозначных дифференциальных форм — тангенциальнозначные формы, в определении которых в качестве векторного расслоения берётся касательное расслоение TM.

Литература

  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5
  • Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. — М.: Мир, 1971.
  • Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1971.
  • Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
  • Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.

См. также

Wikimedia Foundation. 2010.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ — это… Что такое ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ?


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ
ДИФФЕРЕНЦИА́ЛЬНЫЙ, -ая, -ое (спец.).

2. Меняющийся в зависимости от каких-н. условий. Д. тариф.

Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949-1992.

.

Синонимы:

Антонимы:

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛ
  • дифференциация

Смотреть что такое «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ» в других словарях:

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ — лат., от differre, различествовать. Разностный. Объяснение 25000 иностранных слов, вошедших в употребление в русский язык, с означением их корней. Михельсон А.Д., 1865. дифференциальный (лат.; см. дифференциал) 1) различный, неодинаковый при… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • дифференциальный — ая, ое. différentielle, нем.differential <ср. лат. differentialis. 1.мат. Уравнение дифференциалиьное. Кот. Геодет 174. Изчисление Диферанциальное. Корифей 2 163. Дифференциальное исчисление. Уш. 1934. 2. Отн. к дифференциалу, связанный с ним …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

  • дифференциальный — отличительный; различный, разностный, диференциальный. Ant. сходный, одинаковый Словарь русских синонимов. дифференциальный прил., кол во синонимов: 5 • дистинктивный (5) • …   Словарь синонимов

  • дифференциальный — — [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23] Тематики защита информации EN differential …   Справочник технического переводчика

  • Дифференциальный — I прил. соотн. с сущ. дифференциал I, связанный с ним II прил. соотн. с сущ. дифференциал II, связанный с ним III прил. 1. соотн. с сущ. дифференциация, связанный с нею 2. Неодинаковый при разных условиях; различный. 3. Основанный на различии;… …   Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

  • дифференциальный — дифференциальный, дифференциальная, дифференциальное, дифференциальные, дифференциального, дифференциальной, дифференциального, дифференциальных, дифференциальному, дифференциальной, дифференциальному, дифференциальным, дифференциальный,… …   Формы слов

  • дифференциальный — одинаковый …   Словарь антонимов

  • дифференциальный — дифференци альный …   Русский орфографический словарь

  • дифференциальный — …   Орфографический словарь русского языка

  • дифференциальный — Syn: отличительный Ant: сходный, одинаковый …   Тезаурус русской деловой лексики


Внешний дифференциал — это… Что такое Внешний дифференциал?

Дифференциа́льная фо́рма порядка k или k-форма — кососимметрическое тензорное поле типа (0,\;k)

на касательном расслоении многообразия.

Дифференциальные формы были введены Картаном в начале XX века.

Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, симплектической геометрии, квантовой теории поля.

Пространство k-форм на многообразии M обычно обозначают Ωk(M).

Определения

Инвариантное

В дифференциальной геометрии, дифференциальная форма степени k — это гладкое сечение k-ой внешней степени кокасательного расслоения многообразия.

Через локальные карты

k-формой на \mathbb{R}^n

будем называть выражение следующего вида

\omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}f_{i_1i_2\ldots i_k}(x^1,\ldots,x^n)\,dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}

где f_{i_1i_2\ldots i_k} — гладкие функции, dxi — дифференциал i-ой координаты xi (функция от вектора, возвращающая его координату с номером i ), а \wedge — внешнее произведение. При смене координат, это представление меняет форму.

На гладком многообразии, k-формы могут быть определены как формы на картах, которые согласованы на склейках (для точного определения согласованности см. многообразие).

Связанные определения

  • Для k-формы ωk, её внешний дифференциал это (k + 1)-форма
  • d\omega^k=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}\sum_{1\leqslant j\leqslant n}\frac{\partial f_{i_1i_2\ldots i_k}}{\partial x^j}(x^1,\;\dots,\;x^n)\,dx^j\wedge dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}
  • Дифференциальная форма называется замкнутой, если её внешняя производная равна 0.
  • k-форма называется точной, если её можно представить как дифференциал некоторой (k-1)-формы.
  • Факторгруппа H^k_{dR} = \bar\Omega_{k} / d\Omega_{k-1} замкнутых k-форм по точным k-формам называется k-мерной группой когомологий де Рама. Теорема де Рама утверждает, что она изоморфна k-мерной группе сингулярных когомологий.
  • Внутренней производной формы ω по векторному полю \mathbf{v} называется форма
i_\mathbf{v} \omega (u_1, \dots, u_n) = \omega(\mathbf{v}, u_1, \dots, u_n)

Свойства

  • В локальных координатах, дифференциальная форма может быть записана как
    \omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}f_{i_1i_2\ldots i_k}(x^1,\;\ldots,\;x^n)\,dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}
где dxi — дифференциал i-ой координаты xj, а \wedge — внешнее произведение.
  • Дифференциальную форму можно рассматривать как поле полилинейных кососимметрических функций от k векторов.
  • Внешнее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница:
    \ d (\omega^k \wedge\omega^p) = (d\omega^k) \wedge\omega^p + (-1)^{k}\omega^k \wedge(d \omega^p)
  • Для любой формы справедливо d(dω) = 0.
  • теорема Стокса — является основой для большинства применений дифференциальных форм.
  • Внутреннее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница. Оно связано с внешним дифференцированием и производной Ли формулой гомотопии:
    d i_\mathbf{v} + i_\mathbf{v} d = L_\mathbf{v}

Примеры

  • С точки зрения тензорного анализа, 1-форма есть не что иное как ковекторное поле, то есть 1 раз ковариантный тензор, заданный в каждой точке p многообразия M и отображающий элементы касательного пространства Tp(M) в множество вещественных чисел \R:
    \omega(p): T_p (M)\rightarrow \R
  • Форма объёма — пример n-формы на n-мерном многообразии.
  • Симплектическая форма — замкнутая 2-форма ω на 2n-многообразии, такая что \omega^n\not=0.

Применения

Векторный анализ

Через дифференциальные формы возможно представить основные операторы в векторном анализе Пусть I — канонический изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами, и σ — канонический изоморфизм между 2-формами и векторными полями на M. Благодаря этому можно определить дифференциальные операции с векторными полями на M. Тогда ротор и дивергенцию для полей на \R^3 можно представить как

\operatorname{rot}\,v = \sigma\circ d\circ I (v)
\operatorname{div}\,v = \sigma\circ d\circ \sigma (v)

Дифференциальные формы в электродинамике

Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм. Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:

\textbf{F} = \frac{1}{2}F_{ab}\, {\mathrm d}x^a \wedge {\mathrm d}x^b.

Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория. 3-форма тока имеет вид

\textbf{J} = J^a \varepsilon_{abcd}\, {\mathrm d}x^b \wedge {\mathrm d}x^c \wedge {\mathrm d}x^d.

В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как

\mathrm{d}\, {\textbf{F}} = \textbf{0}
\mathrm{d}\, {*\textbf{F}} = \textbf{J}

где * — оператор звезды Ходжа. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.

2-форма * \mathbf{F} также называется 2-формой Максвелла.

Гамильтонова механика

С помощью дифференциальных форм можно сформулировать гамильтонову механику чисто геометрически. Рассмотрим симплектическое многообразие M с заданными на нём симплектической формой ω и функцией H, называемой функцией Гамильтона. ω задаёт в каждой точке X \in M изоморфизм I касательного TXM и кокасательного T^{*}_{X}M пространств по правилу

dH( \mathbf{u} ) = \omega ( I dH, \mathbf{u}), ~~ \forall\mathbf{u} \in T_{X}M,

где dH — 1-форма дифференциала функции H. Векторное поле IdH на многообразии называется гамильтоновым полем, а соответствующий ему фазовый поток — гамильтоновым потоком. Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую форму, а следовательно, сохраняет и любую её внешнюю степень. Отсюда следует теорема Лиувилля. Скобка Пуассона функций F и G на M определяется по правилу

[F,G] = ω(IdF,IdG)

Вариации и обобщения

Помимо вещественно- и комплекснозначных форм, часто также рассматриваются дифференциальные формы со значениями в векторных расслоениях. В этом случае в каждой точке задается полилинейная антисимметричная функция от k векторов из касательного расслоения, возвращающая вектор из слоя над этой точкой. Формально внешние k-формы на M со значениями в векторном расслоении \pi\colon E \to M определяются как сечения тензорного произведения расслоений

\left(\bigwedge^k T^*M\right) \otimes_{M} E

Частный случай векторнозначных дифференциальных форм — тангенциальнозначные формы, в определении которых в качестве векторного расслоения берётся касательное расслоение TM.

Литература

  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5
  • Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. — М.: Мир, 1971.
  • Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1971.
  • Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
  • Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.

См. также

Wikimedia Foundation. 2010.

полный дифференциал — с английского на русский

  • полный дифференциал — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN ordinary differentialtotal differential …   Справочник технического переводчика

  • Полный дифференциал — Дифференциал в математике  линейная часть приращения функции или отображения. Это понятие тесно связанное с понятием производной по направлению. Обычно дифференциал f обозначается df, а его значение в точке x обозначается dxf. Содержание 1… …   Википедия

  • ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ — функции п переменных в точке то же самое, что дифференциал функции в этой точке. Термин П. д. употребляется с целью противопоставления его термину частный дифференциал . Понятие П. д. функции n переменных обобщается на случай отображения открытых …   Математическая энциклопедия

  • Полный дифференциал —         функции f (x, у, z,…) нескольких независимых переменных выражение                  в случае, когда оно отличается от полного приращения (См. Полное приращение)          Δf = f (x + Δx, y + Δy, z + Δz,…) f (x, y, z, …)         на… …   Большая советская энциклопедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛ — (лат., от differe различать). Предел бесконечно малой разности между функцией переменного, получившего бесконечно малое приращение, и первоначальной функцией того же переменного (мат. терм.). Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • Дифференциал (механика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Дифференциал (значения). Устройство дифференциала (центральная часть) Дифференциал это механическое устройство, котор …   Википедия

  • Дифференциал (автомобиль) — Устройство дифференциала(центральная часть) Дифференциал это механическое устройство, которое передает вращение с одного источника на два независимых потребителя таким образом, что угловые скорости вращения источника и обоих потребителей могут… …   Википедия

  • Полный привод — У этого термина существуют и другие значения, см. Полный привод (значения). Наиболее распространённая (но не единственная) схема трансмиссии полноприводного автомобиля. Полный привод (4×4, 4WD …   Википедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛ — главная линейная часть приращения функции. 1) Действительная функция y = f{x )действительного переменного наз. дифференцируемой в точке х, если она определена в нек рой окрестности этой точки и если существует такое число А, что приращение (при… …   Математическая энциклопедия

  • Постоянный полный привод — Наиболее распространённая (но не единственная) схема трансмиссии полноприводного автомобиля. Полный привод (4×4, 4WD, AWD)  конструкция трансмиссии автомобиля, когда крутящий момент, создаваемый двигателем, передаётся на все колеса. До… …   Википедия

  • Теплота — 1) Т. мы называем причину, вызывающую в нас специфические, всем известные тепловые ощущения. Источником этих ощущений являются всегда какие либо тела внешнего мира, и, объективируя наши впечатления, мы приписываем этим телам содержание некоторого …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Дифференциал — это… Что такое Дифференциал?

            в математике, главная линейная часть приращения функции. Если функция y = f (x) одного переменного х имеет при х = х0 производную, то приращение

             Δy = f (x0 + Δx) — f (x0)

            функции f (x) можно представить в виде

             Δy = f’ (x0) Δx + R,

            где член R бесконечно мал по сравнению с Δх. Первый член

             dy = f’ (x0) Δх

            в этом разложении и называется дифференциалом функции f (x) в точке x0. Из этой формулы видно, что дифференциал dy линейно зависит от приращения независимого переменного Δx, а равенство

             Δy = dy + R

            показывает, в каком смысле Д. dy является главной частью приращения Δy.

             Обобщение понятия дифференциала. Обобщение понятия Д. на вектор-функции, начало которому положили в начале 20 в. французские математики Р. Гато и М. Фреше, позволяет лучше выяснить смысл понятия «дифференциал» для функций нескольких переменных, а в применении к Функционалам приводит к понятию вариации, лежащему в основе вариационного исчисления (См. Вариационное исчисление).

             Важную роль в этом обобщении играет понятие линейной функции (линейного отображения). Функция L (x) векторного аргумента х называется линейной, если она непрерывна и удовлетворяет равенству

             L (x’ + х «) = L (x’) + L (x «)

            для любых х’ и х « из области определения. Линейная функция n-мерного аргумента х = {x1,…, xn} всегда имеет вид

             L (x) = a1x1 +… + anxn,

            где a1,…, an — постоянные. Приращение

             ΔL = L (x + h) — L (x)

            линейной функции L (x) имеет вид

             ΔL = L (h),

            т. е. зависит только от векторного приращения h, и притом линейно. Функция f (x) называется дифференцируемой при значении аргумента х, если её приращение Δf = f (x + h) — f

    (x), рассматриваемое как функция от h, имеет главную линейную часть L (h), т. е. выражается в виде

             Δf = L (h) + R (h),

            где остаток R (h) при h → 0 бесконечно мал по сравнению с h. Главная линейная часть L (h) приращения Δf и называется дифференциалом df функции f в точке x. При этом в зависимости от того, в каком смысле понимается бесконечная малость R (h) по сравнению с h, различают слабый дифференциал, или дифференциал Гато, и сильный дифференциал, или дифференциал Фреше. Если существует сильный Д., то существует и слабый Д., равный сильному Д. Слабый Д. может существовать и тогда, когда сильный не существует.

             В случае f (x) ≡ x из общего определения следует, что

    df = h, т. е. можно приращение h считать Д. аргумента x и обозначать dx.

             Если сделать теперь переменной точку x, в которой определяется Д. df, то он будет функцией двух переменных:

             df (x; h).

            Далее, считая h = h1 постоянным, можно найти Д. от дифференциала df (x; h1) как главную часть приращения

             df (x + h2; h1) — df (x; h1),

            где h2 — некоторое второе, не связанное с h1 приращение x. Получаемый таким образом второй дифференциал d2f = d2f (x; h1, h2) является функцией трёх векторных аргументов

    x, h1 и h2, линейной по каждому из двух последних аргументов. Если d2f непрерывно зависит от x, то он симметричен относительно h1 и h2:

             d2f (x; h1, h2) = d2f (x; h2, h1).

             Аналогично определяется дифференциал dnf = dnf (x; h1,…, hn) любого порядка n.

             В вариационном исчислении сам векторный аргумент x является функцией x (t), а дифференциалы df и d2f функционала f [x (t

    )] называются его первой и второй вариациями и обозначаются δf и δ2f.

             Всюду выше речь шла об обобщении понятия Д. на числовые функции векторного аргумента. Существует обобщение понятия Д. и на случай вектор-функций, принимающих значения в банаховых пространствах.

             Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 2 изд., М., 1967; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1, М., 1970; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966; Дьедонне Ж., Основы современного анализа, пер. с англ., М., 1964.

             А. Н. Колмогоров.

    Дифференциал (механика) — это… Что такое Дифференциал (механика)?

    Устройство дифференциала (центральная часть)

    Дифференциа́л — это механическое устройство, которое делит момент входного вала между выходными валами, которые называются полуосями. Наиболее широко применяется в конструкции привода автомобилей, где момент от выходного вала коробки передач (или карданного вала) поровну делится между полуосями правого и левого колеса. В полноприводных автомобилях также может применяться для деления момента в заданном соотношении между ведущими осями, хотя здесь достаточно распространены конструкции и без дифференциала (например, с вискомуфтой).

    Назначение

    Необходимость применения дифференциала в конструкции привода автомобилей обусловлена тем, что внешнее колесо при повороте проходит более длинную дугу, чем внутреннее. То есть при вращении ведущих колёс с одинаковой скоростью поворот возможен только с пробуксовкой, а это негативно сказывается на управляемости и сильно повышает износ шин.

    Назначение дифференциала в автомобилях:

    • позволяет ведущим колёсам вращаться с разными угловыми скоростями;
    • неразрывно передаёт крутящий момент от двигателя на ведущие колёса;
    • в сочетании с главной передачей служит дополнительной понижающей передачей.

    В случае единственного приводного колеса или отдельного двигателя для каждого из ведущих колёс дифференциал не требуется. В конструкции раллийных автомобилей иногда дифференциал намертво блокируют (заваривают), жёстко связывая колёса ведущей оси – это допустимо, так как на гравии или снегу в ралли повороты проходятся только с заносом. Также дифференциал отсутствует в конструкции картов, при этом гибкость их рам обычно позволяют вывешивать ведущее заднее колесо с внутренней стороны поворота без отрыва передних колёс от трассы. В веломобилях с ведущей осью вместо дифференциала часто применяются более простые и доступные трещотки (обгонные муфты) в колёсах – такой привод допускает вращение колёс на ведущей оси с разной скоростью, но при этом весь момент передаётся только на то колесо, которое медленнее вращается.

    Расположение

    На автомобилях с одной ведущей осью дифференциал располагается на ведущей оси.

    На автомобилях со сдвоенной ведущей осью два дифференциала, по одному на каждой оси.

    На автомобилях с подключаемым полным приводом по одному дифференциалу на каждой оси. На таких машинах не рекомендуется ездить по дорогам с включенным полным приводом.

    На автомобилях с постоянным полным приводом есть три дифференциала: по одному на каждой оси (межколёсный), плюс один распределяет крутящий момент между осями (межосевой).

    При трёх или четырёх ведущих мостах (колёсная формула 6×6 или 8×8) добавляется ещё межтележечный дифференциал.

    Устройство

    Дифференциал автомобиля Porsche Cayenne в разрезе

    Классические автомобильные дифференциалы основаны на планетарной передаче. Карданный вал 1 через коническую зубчатую передачу передает вращение на корпус дифференциала 2. Корпус дифференциала через независимые друг от друга шестерни (сателлиты) 3 вращает полуоси 4. Такое зацепление имеет не одну, а две степени свободы, и каждая из полуосей вращается с такой скоростью, с какой может. Постоянна лишь суммарная скорость вращения полуосей.

    Проблема буксующего колеса

    Обычный («свободный») дифференциал отлично работает, пока ведущие колёса неразрывно связаны с дорогой. Но, когда одно из колёс оказывается в воздухе или на льду, то крутится именно это колесо, в то время как другое, стоящее на твёрдой земле, теряет всякую силу. Может показаться, что обычный дифференциал – это бессмысленный механизм, который направляет крутящий момент двигателя именно на то колесо, которое легче прокручивается. Конечно, целесообразнее было бы передавать больше крутящего момента на колесо с лучшим сцеплением, но этого не происходит в силу устройства дифференциала.

    Дело в том, что создаваемый двигателем момент зависит от силы реакции на каждом из ведущих колёс автомобиля. В случае потери сцепления одним из колёс, его сопротивление падает, а раскрутка происходит без существенного увеличения момента сопротивления (трение скольжения в пятне контакта меньше трения покоя и несущестенно зависит от скорости пробуксовки). В момент когда колесо начинает проскальзывать, моменты на колесах тоже равны друг другу, но при этом они равны наименьшей силе реакции точки опоры в системе (т.е. у проскальзывающего колеса), а весь лишний момент (который превышает момент точки опоры) уходит в раскрутку буксующего колеса.

    Данную ситуацию можно выразить следующим выражением: момент не буксующего колеса равен моменту буксующего колеса плюс момент на раскрутку буксующего колеса.

    Способы решения проблемы буксующего колеса

    Ручная блокировка дифференциала

    По команде из кабины шестерни дифференциала блокируются, и колёса вращаются синхронно. Таким образом, дифференциал стоит блокировать перед преодолением сложных участков пути (вязкий грунт, препятствия), и затем отключать блокировку после выезда на обычную дорогу. Применяется в вездеходах и внедорожниках.

    При езде на таких автомобилях чаще всего не рекомендуется включать блокировку, когда автомобиль движется. Также нужно знать, что крутящий момент, создаваемый мотором, настолько велик, что может сломать механизм блокировки или полуось. Обычно производители автомобиля отдельно указывают рекомендованную максимальную скорость движения при заблокированном дифференциале, в случае ее превышения возможны поломки трансмиссии. Включенная блокировка, особенно в переднем мосту, отрицательно влияет на управляемость.

    Электронное управление дифференциалом

    На внедорожниках, снабжённых антипробуксовочной системой (TRC и другие), если одно из колёс буксует, оно подтормаживается рабочим тормозом.

    Похожее решение было применено в «Формуле-1» в 1998 г. в команде «Макларен»: в повороте внутреннее колесо подтормаживалось рабочим тормозом. Эту систему быстро запретили, однако в Формуле-1 прижилась конструкция фрикционного дифференциала, в котором фрикцион дополнительно управляется компьютером. В 2002 году технический регламент был ужесточён; с того же (2002) года и по сей день в Формуле-1 разрешены только дифференциалы простейшего типа.

    Преимущество электронного управления в том, что повышается тяга в повороте, и степень блокировки можно настроить в зависимости от предпочтений гонщика. На прямой совсем не теряется мощность двигателя. Недостаток в том, что датчики и исполнительные механизмы обладают некоторой инерцией, и такой дифференциал нечувствителен к быстро меняющимся дорожным условиям.

    Фрикционный самоблокирующийся дифференциал

    Этот тип дифференциала (как, впрочем, и вязкостная муфта) основан на том, что на прямой полуоси вращаются синхронно с корпусом дифференциала, но в повороте появляется разница в угловых скоростях.

    Между корпусом дифференциала 2 и полуосевой шестерней 4 установлен фрикцион (в зависимости от конструкции, фрикцион может быть установлен с одной стороны или с двух; на ходовые качества это не влияет). Когда автомобиль движется по прямой, корпус и шестерня вращаются с одной и той же скоростью, и потерь нет. При появлении разницы в скоростях вращения корпуса и шестерни на отстающую шестерню подается дополнительный крутящий момент из-за наличия трения между шестерней и корпусом дифференциала.

    Этот вид дифференциала требует периодического обслуживания (так как трущиеся части фрикциона изнашиваются, снижается сила трения и эффективность блокировки) и поэтому редко устанавливается на серийные машины (в основном на спортивные и тюнингованные)

    Вязкостная муфта (Вискомуфта, Viskodrive)

    Упрощённый вариант фрикционного дифференциала. На одной из полуосей имеется резервуар, заполненный вязкой дилатантной жидкостью. В эту жидкость погружены два пакета дисков; один соединён с ротором, второй с полуосью. Чем больше разница в скоростях колёс, тем больше разница в скоростях вращения дисков и тем больше вязкое сопротивление.

    Достоинство такой конструкции в простоте и дешевизне. Недостаток в том, что вязкостная муфта довольно инерционна и отказывается работать на полном бездорожье. Хороших ходовых качеств вязкостная муфта не обеспечивает и применяется только в «паркетниках» (вседорожниках, которые жертвуют проходимостью ради комфорта) между осями. Для установки в качестве осевого дифференциала такая конструкция слишком громоздка.

    Иногда вместо дифференциала ставят коническую зубчатую передачу с вязкостной муфтой на одной из полуосей.

    Кулачковый/зубчатый самоблокирующийся дифференциал

    Принцип действия аналогичен, но полуоси соединяются зубчатой или кулачковой парой. Таким образом, при пробуксовке одного из колёс дифференциал резко блокируется. Поэтому такая система применяется только в военной и специальной технике (например, в бронетранспортёрах), где нужно большое тяговое усилие и долговечность в ущерб управляемости.

    Гидророторный самоблокирующийся дифференциал

    Попытка повысить эффективность и долговечность фрикционного дифференциала. При возникновении разницы в угловых скоростях насос закачивает жидкость в цилиндр, и поршень сжимает фрикционный пакет, блокируя дифференциал.

    DPS

    Основная статья: DPS

    Dual Pump System — система с двумя насосами, автоматически подключающая вторую ось, когда не хватает одной. Применяется в системах полного привода Honda. Достоинства: работает автоматически, на хорошей дороге экономит бензин. Недостатки: ограниченная проходимость, сложность, ограничения на буксировку.

    Шестеренчатые самоблокирующиеся дифференциалы

    Существует три типа таких дифференциалов — планетарные, типа Quaife и типа Torsen. Все они основаны на свойстве косозубой или червячной передачи «заклинивать» при определённом соотношении крутящих моментов. Такие дифференциалы передают бо́льшую часть крутящего момента (до 80 %) небуксующему колесу.

    Применяются во внедорожниках и гоночных автомобилях. Недостатки: сложность; бо́льшая потеря мощности, чем у обычного дифференциала.

    Дифференциал типа Torsen изобретён в 1958 г. американцем Верноном Глизманом. Имеет достоинства вязкостной муфты и не имеет её недостатков. Принцип работы основан на свойстве червячной передачи «расклиниваться». Название Torsen произошло от англ. Torque sensitive («чувствительный к крутящему моменту»). Torsen — товарный знак JTEKT Torsen North America Inc.

    Разновидностей конструкций не так уж и много — можно выделить три основных:

    Первый тип(T-1) Червячными парами являются шестерни ведущих полуосей и сателлиты. При этом каждая полуось имеет собственные сателлиты, которые парно связанны с сателлитами противоположной полуоси обычным прямозубым зацеплением. Следует отметить, что ось сателлита перпендикулярна полуоси. При нормальном движении и равенстве передаваемых на полуоси моментов, червячные пары «сателлит / ведущая шестерня» либо остановлены, либо проворачиваются, обеспечивая разницу угловых скоростей полуосей в повороте. Как только дифференциал пытается отдать момент на одну из полуосей, то червячную пару этой полуоси начинает расклинивать и блокировать с чашкой дифференциала, что приводит к частичной блокировке дифференциала. Данная конструкция работает в самом большом диапазоне отношений крутящего момента — от 2.5/1 до 5.0/1, то есть является самой мощной в серии. Диапазон срабатывания регулируется углом наклона зубцов червяка.

    Второй тип(T-2) В данном случае, оси сателлитов параллельны полуосям. Сателлиты расположены в своеобразных карманах чашки дифференциала. При этом парные сателлиты имеют косозубое зацепление, которое расклиниваясь, так же участвует в процессе блокировки. Подобное устройство имеет и дифференциал TrueTrac компании EATON. Даже у нас в России появилось производство аналогичных дифференциалов под отечественные автомобили УАЗ и.т.д.

    Третий тип(Т-3) Планетарная структура конструкции позволяет сместить номинальное распределение момента в пользу одной из осей. Срабатывание частичной блокировки происходит при 20-30 % разнице в передаваемых на оси моментах. Подобная структура дифференциала делает его компактным, что в свою очередь, упрощает конструкцию и улучшает компоновку раздаточной коробки.

    В отличие от других конструкций, датчики вращающего момента работают практически в любых условиях. Даже если колеса вращаются с различными скоростями (поворот, прохождение через ухабы), они тем не менее всегда получают вращающий момент основанный на сцеплении.

    Данные дифференциалы не требуют применения специальных присадок к маслу (в отличие от фрикционных дифференциалов), однако лучше использовать качественное масло для нагруженных гипоидных передач.

    См. также

    Ссылки

    Отправить ответ

    avatar
      Подписаться  
    Уведомление о