Двойной дифференциал: Дифференциалы высших порядков — Википедия – Дифференциал второго порядка, теория и примеры

2. Дифференциалы высших порядков

I. Пусть z=f(x;y), где х, у – независимые переменные, определена на области G и имеет на этой области непрерывные частные производные. Тогда она дифференцируема, и ее дифференциал равен

, где dxx, dyy.

Следовательно, dz – функция четырех переменных: х, у, dx, dy. Зафиксируем dx и dy. Тогда dz=φ(x;y). Если функция f на G имеет непрерывные частные производные второго порядка, то функция dz=φ(x;y) на этой области имеет непрерывные частные производные, следовательно, она дифференцируема на G и имеет дифференциал.

Определение. Дифференциалом второго порядка d2z функции z=f(x;y) называется дифференциал от ее дифференциала первого порядка

dz:

d2z=d(dz).

.

Т.к. , то

. (6)

Символическая запись второго дифференциала: .

Если функция f на G имеет непрерывные частные производные третьего порядка, то функция d2z=ψ(x;y) на этой области имеет непрерывные частные производные, следовательно, она имеет дифференциал. Дифференциал от этой функции называется дифференциалом третьего порядка функции

z=f(x;y) и обозначается d3z. Таким образом,

.

Символическая запись: .

Если функция f на G имеет непрерывные частные производные n-го порядка, то на G существует дифференциал n-го порядка, и он определяется с. о.: dnz=d(dn1z).

.

II. Дифференциалы высших порядков от сложной функции.

Пусть z=f(x;y) определена на области G, x=φ(u;v), y=ψ(u;v) определены на области H, где u, vнезависимые переменные, причем (u;v)H . Тогда определена на H. Если функция z=f(x;y) имеет непрерывные частные производные n-го порядка на G, и функции x и y имеют непрерывные частные производные n-го порядка на H, то сложная функция h имеет непрерывные частные производные

n-го порядка на H. Тогда существуют дифференциалы 1, 2,…, n-го порядков от сложной функции h(u;v) на H.

( — функции от u и v),

, ,

dz – функция от u и v.

.

Следовательно, . (7)

Вывод. Сравнивая (6) и (7) видим, что дифференциал второго порядка не имеет инвариантной формы. Дифференциалы высших порядков также не обладают свойством инвариантности формы.

Частный случай.

Пусть z=f(x;y) определена на G, , где u, vнезависимые переменные, α1,…, γ2 – числа. Тогда

.

,

.

Значит, dx и dy не зависят от u и v, и поэтому d2x=d(dx)=0, d2y=d(dy)=0. Подставляя эти равенства в (7), получим (6).

Т.о., в частном случае, когда x и y – линейные функции, форма второго дифференциала инвариантна. Аналогично, и формы дифференциалов высших порядков в этом случае инвариантны.

3. Формула Тейлора для функции двух переменных

Пусть функция F(t) в некоторой окрестности V(t0) имеет производные до (n+1)-го порядка включительно. Тогда справедлива формула Тейлора:

. (8)

Обозначим tt0t, F(t)F(t0)=ΔF(t0),

F’(t0)(t-t0)=F’(t0t=dF(t0),

F»(t0)(tt0)2=F»(t0)(Δt)2=d2F(t0) и т.д.

Тогда (8) можно записать в виде

, где 0<θ<1. (9)

В виде (9) формула Тейлора распространяется и на случай функций нескольких переменных.

Теорема. Пусть функция z=f(x;y), где х, у – независимые переменные, определена и имеет непрерывные частные производные до (n+1)-го порядка включительно в некоторой окрестности точки М(х0;y0) Vδ(х0;y0). Тогда Δх, Δу, удовлетворяющих условию , имеет место формула Тейлора:

, где 0<

θ<1. (10)

Доказательство.

Зафиксируем Δх, Δу: , где .

Тогда ММ0Vδ(х0;y0). Параметрические уравнения отрезка ММ0:

(11)

Функция на [0;1] становится сложной функцией от переменной t:

f(x;y)=f(х0+tΔx;y0+tΔy)=F(t). (12)

По условию

f(x;y) имеет непрерывные частные производные до (n+1)-го порядка включительно на Vδ(х0;y0). Функции х и у, как линейные, имеют непрерывные производные любого порядка. Поэтому F(t) имеет непрерывные производные до (n+1)-го порядка включительно на [0;1]. Тогда для F(t) на [0;1] справедлива формула Тейлора (9).Положим в ней t0=1, t0t=1, Δt=1:

. (13)

Перейдем здесь к f(x;y), используя (12).

ΔF(0)=F(1)F(0)=f(х0x;y0y)f(х0;y0

)=Δf(х0;y0).

Форма первого дифференциала инвариантна. Тогда, учитывая (11) при вычислении dx и dy, получим

,

т.к. dtt=1.

Поскольку х=х0+tΔx, y=y0+tΔy – линейные функции, то дифференциалы высших порядков от функции F(t)=f(x;y) обладают свойством инвариантности.. Следовательно, для их вычисления мы можем использовать простейшую форму:

.

Аналогично, ,…, ,

.

Подставляя все выражения в (13), получим (10).

Формула Тейлора имеет большое значение при вычислении приращений и значений функции с большой степенью точности.

Дифференциалы высших порядков.

Решение

Вычислим первую производную y′x по правилу дифференцирования функции, заданной параметрически.

y′x =

(sin 2 t)′t

=

2 sin t cos t

=

sin 2t

 

 

 

.

(t 3 + 3t 2 + 4 )′t

3t 2 + 6t

3t 2 + 6t

Чтобы вычислить вторую производную, учтем, что производная y′x также является

параметрически заданной функцией.

То

есть первая

производная y′x задана

x = t 3

+3t 2 + 4

 

 

 

sin 2t .

 

параметрическими уравнениями

y′x =

 

 

 

 

 

 

 

3t

2

+ 6t

 

 

 

 

 

Для вычисления второй производной можно дифференцирования, что и для первой.

 

 

(sin 2t

)′

 

2cos 2t (3t2 +6t )−sin 2t (6t+6)

 

 

 

(3t

2

2

 

 

2

t

 

y′′2

=

 

3t +6t

=

 

+6t )

(t3 +3t 2 + 4)′t

 

 

 

x

 

 

3t

2 + 6t

 

использовать то же

правило

=

6 (cos 2t (t 2 + 2t)−sin 2t

(t +1))

.

(3t 2 + 6t)3

 

 

 

 

 

 

Теорема. Механический смысл первой и второй производной

 

 

 

Если x(t)

– путь, пройденный материальной точкой, движущейся прямолинейно, за

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′

 

 

 

 

время t , то x

(t) – скорость точки в момент времени t , а

x (t) – ее ускорение в момент

времени t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Средняя скорость

 

между

моментами

времени

t

и

t +

t

равна vñð. =

x , где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

x = x(t + t)− x(t) – путь, пройденный за время

t . Скорость v(t) в момент времени t

определяется как предел средней скорости за промежуток времени

t при

t → 0 .

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v(t)= lim vñð. = lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

= x (t).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t→0

t→0

 

v ,

 

 

 

 

Среднее ускорение за

временя

t

равно

añð. =

где

v = v(t + t)− v(t) –

 

 

 

 

 

 

 

 

t . Ускорение a(t)

 

 

 

t

 

 

 

 

изменение скорости за время

в момент времени t

определяется как

предел среднего

ускорения

за

промежуток

времени

t

при

t → 0 .

Тогда

a(t)= lim aср.

= lim

 

v

= v

′′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

(t)= x (t).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t→0

 

t→0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следствие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если x(t)

– смещение материальной точки за время t

вдоль оси Ox под действием

силы F(t),

то, используя второй закон Ньютона m a = F , можно записать уравнение ее

движения

m

′′

 

(t), где

m –

масса точки,

а

F

равнодействующая всех сил,

x (t)= F

приложенных к ней.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение

 

y = f (x) дважды дифференцируема в точке

 

 

 

Пусть функция

x .

Дифференциалом

второго порядка от функции

f (x) или вторым дифференциалом в точке x называется

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

дифференциал от ее первого дифференциала d(dy). Второй дифференциал обозначается d 2 y .

Аналогично определяется дифференциал третьего порядка d 3 y , четвертого порядка d 4 y , и так далее.

Теорема

Если функция y = f (x) дважды дифференцируема и x – независимая переменная, то формула для второго дифференциала имеет вид:

 

 

 

 

2

′′

 

 

2

 

 

 

 

 

 

d y =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) (dx) .

 

 

 

Доказательство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По определению второго дифференциала

d 2 y = d(dy). Используя формулу

для

первого дифференциала dy , получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d y = d (f (x) dx)= d(f

 

(x)) dx + f

(x) d(dx).

 

Так как для независимой переменной дифференциал dx равен приращению x

и не

зависит от переменной x , то d (dx)= 0 . Тогда

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

′′

 

 

 

′′

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d y = d(f (x)) dx = f

(x) dx dx = f

(x) dx .

 

Следствие

Если x – независимая переменная, то формула для дифференциала n – го порядка

имеет вид:

d n y = f (n)(x) (dx)n .

Пример 1

Найти дифференциал второго порядка для функции y = esin x .

Решение

Формула для второго дифференциала имеет вид: d 2 y = y′′ (dx)2 .

Вычислим первую производную: y′ = esin x cos x . Затем вычислим вторую производную: y′′ = esin x cos x cos x + esin x (−sin x).

Проведем в полученном выражении все упрощения. Получим y′′ = esin x (cos2 x −sin x).

Подставив, найденную формулу для второй производной в формулу дифференциала, окончательно запишем второй дифференциал в виде:

d 2 y = esin x (cos2 x −sin x) dx2 .

Пример 2

Найти формулу для дифференциала n – го порядка d n y функции y = sin x .

Решение

При решении используем формулу для дифференциала n – го порядка d n y = f (n)(x) (dx)n .

Вычислим производные: y′ = cos x , y′′ = −sin x , y′′′ = −cos x , y IV = sin x , yV = cos x = y′, yVI = y′′ и так далее. Заметим, что y(n) = sin(x + n2π), при n =1,2,3,4 . Тогда

14

22. Производные и дифференциалы высших порядков. Неинвариантность формы второго дифференциала.

Производные высших порядков.

Пусть функция y=f(x) дифференцируемая на некотором промежутке. Производная у’=f'(х) называется производной 1-го порядка и представляет собой так же функцию от х.

Производная от производной 1-го порядка – называется производной 2-го порядка от функции у=f(x) и обозначается у», илиf»(х), илиd²y/dx², (d/dx)*(dy/dx),dy’/dx. Таким образом, у»=(у’)’. Аналогично от производной 2-го порядка, если она существует, называется производной третьего порядка от функции у=f(x). Обобщив скажем, что производнаяn-го порядка от заданной функции у=f(х), если она существует, называется производной от производной (n-1)-го порядка.

Примечания: Что бы найти производную n-го порядка, надо найти все предшествующие производные до (n-1)-го порядка включительно.

Производные выше 1-го порядка называются производными высших порядков. Начиная с производной 4-го порядка, производные обозначаются римскими цифрами или числами в скобках.

Формула Лейбница.

Пусть у=U*V,U=U(x),V=V(x) – некоторые функции имеющие производные любого порядка. Формула Лейбница имеет вид:

Как видно, коэффициент в формуле Лейбница то же, что и в разложении Бинома-Ньютона

Дифференциалы высших порядков.

Пусть функция у=f(x) –дифференцируемая функция, а ее аргумент х – независимая переменная. Согласно определению дифференциала функции(dy=f'(х)*dx), есть так же функция от х, можно найти дифференциал от этой функции.

Определение: Дифференциал от дифференциала dyназывается дифференциалом второго порядка функции у=f(x) и обозначается(d²y). Таким образом, по определению имеемd²y=d(dy)=(dy’)*dx=(f ’(x)*dx)’*dx=f»(x)*(dx)².

Определение: Аналогично дифференциал от дифференциала второго порядка называется дифференциалом третьего порядка(d³y).

Обобщим, получим что дифференциал n-го порядка функции у=f(х) определяется, как дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка этой функции(обозначение). Отсюда можно найти.

Замечание: Дифференциалы высших порядков (начиная со второго) свойством инвариантности не обладают, т.е. выражение для дифференциала различных порядков справедливы только в том случае, когда есть независимая переменная величина.

2) dy=y’(x)∙dx

y”(x)=

d(n)(y)=y(n)(x)∙dxn

y(x(t))

dy=y’(t)∙dt,y’(t)=y’(x)∙x’(t),y”(t)=y”(x)∙x’(t)∙x’(t)+y’(x)∙x”(t)

d2y=y”(t)∙dt2=[y”(x)(x’(t))2+y’(x)∙x”(t)]dt2=y”(x)∙[x’(t)∙dt]2+y’(x)∙x”(t)∙dt2

dxd2x

d2y=y”(x)∙dx2+y’(x)∙d2x

Форма 2-го диф-ла не инвариантна отн-но зависимости аргумента.

23. Производные функций, заданных параметрически.

Часто зависимость между переменными х и у задается параметрическими уравнениями:

х=(t)

y=g(t), гдеt– вспомогательная переменная называемая параметром.

Если функция (t) иg(t) дифференцировались и'(t)0, то производнаяdy/dxот функции у по аргументу х может быть найдена, как отношение дифференциаловdyиdx, т.к.dy=g'(t)*dt, иdy/dx=(g'(t)*dt)/('(t)*dt)=(dy/dt)/(dx/dt)=Yt’/Xt’, то естьdy/dx=Yt’/Xt’

Пример 1:

возьмем t=1, тогдаx=2,y=3;y’(2)=7/3

Пример 2:

двойной дифференциал механизма поворота — со всех языков на русский

  • 1 Doppellenkdifferential

    сущ. авт. двойной дифференциал управления, двойной дифференциал (механизма) поворота

    Универсальный немецко-русский словарь > Doppellenkdifferential

  • 2 Doppellenkdifferential

    Deutsch-russische wörterbuch automobil > Doppellenkdifferential

  • 3 Lenkdoppeldifferential

    Deutsch-russische wörterbuch automobil > Lenkdoppeldifferential

  • 4 Doppellenkdifferential

    Deutsch-russische wörterbuch der automobil-und automotive service > Doppellenkdifferential

  • 5 Lenkdoppeldifferential

    сущ. авт. двойной дифференциал поворота, двойной дифференциал механизма управления

    Универсальный немецко-русский словарь > Lenkdoppeldifferential

  • 6 Lenkausgleichgetriebe

    БНРС > Lenkausgleichgetriebe

  • 7 Lenkausgleichgetriebe

    Универсальный немецко-русский словарь > Lenkausgleichgetriebe

  • 8 Lenkdifferential

    Универсальный немецко-русский словарь > Lenkdifferential

  • 9 Lenkausgleichgetriebe

    Deutsch-russische wörterbuch automobil > Lenkausgleichgetriebe

  • 10 Lenkdifferential

    Deutsch-russische wörterbuch automobil > Lenkdifferential

  • 11 Lenkdoppeldifferential

    Deutsch-russische wörterbuch der automobil-und automotive service > Lenkdoppeldifferential

  • 12 Lenkausgleichgetriebe

    Deutsch-Russische Wörterbuch polytechnischen > Lenkausgleichgetriebe

  • 13 Lenkausgleichgetriebe

    дифференциал механизма поворота (напр., гусеничного трактора)

    Deutsch-Russische Wörterbuch von Kraftfahrzeugen > Lenkausgleichgetriebe

  • 14 Lenkdifferential

    дифференциал механизма поворота (напр., гусеничного трактора)

    Deutsch-Russische Wörterbuch von Kraftfahrzeugen > Lenkdifferential

  • 15 Lenkdoppeldifferential

    двойной дифференциал поворота

    Deutsch-Russische Wörterbuch von Kraftfahrzeugen > Lenkdoppeldifferential

  • 16 Lenkausgleichgetriebe

    Neue große deutsch-russische Wörterbuch Polytechnic > Lenkausgleichgetriebe

  • 17 swing brake

    swing brake
    n

    Англо-русский строительный словарь. — М.: Русский Язык. С.Н.Корчемкина, С.К.Кашкина, С.В.Курбатова. 1995.

    Англо-русский словарь строительных терминов > swing brake

  • 18 slewing brake

    slewing brake
    n

    Англо-русский строительный словарь. — М.: Русский Язык. С.Н.Корчемкина, С.К.Кашкина, С.В.Курбатова. 1995.

    Англо-русский словарь строительных терминов > slewing brake

  • 19 Lenkgestänge

    n

    1) авт. система рулевых тяг, рулевые тяги

    БНРС > Lenkgestänge

  • 20 double differential

    Универсальный англо-русский словарь > double differential

См. также в других словарях:

  • Char B1 — B1bis в танковом …   Википедия

  • Т-12, Т-24 — ПЕРВЫЕ СРЕДНИЕ         Одним из …   Энциклопедия техники

  • Вторая профессия водителя —        После танка Рено FT конструкторы, казалось бы, бесповоротно приняли систему размещения основного вооружения во вращающейся башне, но время от времени в некоторых моделях машин наблюдался как бы возврат к прошлому: пушка устанавливалась в… …   Энциклопедия техники

  • Броня к броне —        «….Младший лейтенант Сивков В. А. в ночь с 13 на 14 марта, следуя ни маршруту полка, по пути узнал, что по его маршруту в селе Явкине находится противник. Это его не смутило, и он решил во что бы то ни стало с боем пробиться к своей… …   Энциклопедия техники

  • Танки-разведчики —        В начале второй мировой войны на смену легким танкам пришли средние, которые стали основными боевыми машинами. Легкие танки тем не менее выпускались, хотя и в меньших количествах, чем раньше. Теперь их использовали для разведки и охранения …   Энциклопедия техники

  • КАМАЗ 5320 — КамАЗ 5320 …   Википедия

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о