Матричная оптика: Матричная оптика — Википедия – Матричная оптика — Викиучебник

Содержание

Матричная оптика — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 3 июля 2014; проверки требуют 8 правок. Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 3 июля 2014; проверки требуют 8 правок.

Матричная оптика — математический аппарат расчета оптических систем различной сложности.

Пусть известно направление распространения светового луча перед оптической системой. Пусть y1{\displaystyle y_{1}} — «высота» луча над главной оптической осью системы, v1{\displaystyle v_{1}} — приведенный угол: v1=n×α{\displaystyle v_{1}=n\times \alpha }, где α{\displaystyle \alpha } — угол между направлением распространения луча и главной оптической осью системы, n — показатель преломления среды в данной точке. Тогда соответствующие координаты луча после прохождения оптической системы связаны с исходными матричным уравнением:
[y2v2]=[ABCD]×[y1v1]{\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{2}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}y_{1}\\v_{1}\end{bmatrix}}},

где [ABCD]{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}} — матрица оптической системы, также именуемая матрица передачи луча.

Определитель матрицы оптической системы равен отношению показателей преломления на входе и на выходе системы, обычно это отношение равно 1. Матричное преобразование — это приближенное линейное описание системы. Оно работает, в частности, когда выполняется параксиальное приближение.

Матрицы простейших оптических систем[править | править код]

Сферическая преломляющая поверхность[править | править код]

M=[10−Φ11]{\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{1}&1\end{bmatrix}}}, Φ1=n2−n1n2∗R{\displaystyle \Phi _{1}={\frac {n_{2}-n_{1}}{n_{2}*R}}}, где n1{\displaystyle n_{1}} и n2{\displaystyle n_{2}} — показатели преломления среды (Подразумевается, что луч переходит из среды с n1{\displaystyle n_{1}} в среду с n2{\displaystyle n_{2}}), R — алгебраический радиус кривизны сферической поверхности (R > 0 для выпуклой поверхности, когда сонаправлены падающий луч и радиус-вектор в центр кривизны поверхности, и R < 0 для вогнутой поверхности).

Сферическое зеркало[править | править код]

M=[10−Φ21]{\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{2}&1\end{bmatrix}}}, Φ2=−2⋅nR{\displaystyle \Phi _{2}=-{\frac {2\cdot n}{R}}}, где n{\displaystyle n} — показатель преломления среды, R — алгебраический радиус кривизны (см. выше).

Трансляция[править | править код]

Трансляцией называется прямолинейное распространение луча между преломлениями/отражениями,например, между двумя линзами.
M=[1T01]{\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&T\\0&1\end{bmatrix}}}, T=dn{\displaystyle T={\frac {d}{n}}}, d — длина трансляции, n — показатель преломления.

Итоговая матрица оптической системы есть произведение матриц отдельных простейших элементов, причем в порядке, противоположном порядку этих элементов, т. е. M=Mn×⋅⋅⋅×M2⋅M1{\displaystyle M=M_{n}\times \cdot \cdot \cdot \times M_{2}\cdot M_{1}}, где Mi{\displaystyle M_{i}} — матрица i-того оптического элемента, считая от положения падающего на систему луча.

Оптическая сила оптической системы:
Φ=−C{\displaystyle \Phi =-C}
B=0,y2=A⋅y1{\displaystyle B=0,y_{2}=A\cdot y_{1}} — общее условие формирования изображения в данной точке. В данном случае A есть увеличение системы.

Расчет оптической силы толстой линзы матричным методом[править | править код]

Пусть линза с радиусами кривизны R1,R2{\displaystyle R_{1},R_{2}} (для определенности — двояковыпуклая), толщиной d, из материала с показателем преломления n находится в воздухе. Тогда оптическая система состоит из трех простейших элементов — двух преломляющих поверхностей и трансляции внутри линзы. Имеем:

M1=[10−Φ11]{\displaystyle M_{1}={\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{1}&1\end{bmatrix}}}
M2=[1T01]{\displaystyle M_{2}={\begin{bmatrix}1&T\\0&1\end{bmatrix}}}
M3=[10−Φ21]{\displaystyle M_{3}={\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{2}&1\end{bmatrix}}}
Матрица всей оптической системы:
M=M3⋅M2⋅M1=[10−Φ21]×[1T01]×[10−Φ11]=[1−TΦ1TTΦ1Φ2−Φ1−Φ21−TΦ2]{\displaystyle M=M_{3}\cdot M_{2}\cdot M_{1}={\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{2}&1\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1&T\\0&1\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{1}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-T\Phi _{1}&T\\T\Phi _{1}\Phi _{2}-\Phi _{1}-\Phi _{2}&1-T\Phi _{2}\end{bmatrix}}}
Отсюда оптическая сила толстой линзы:
Φ=−C=Φ1+Φ2−dΦ1Φ2n{\displaystyle \Phi =-C=\Phi _{1}+\Phi _{2}-{\frac {d\Phi _{1}\Phi _{2}}{n}}}

Для тонкой линзы третьим слагаемым можно пренебречь:
Φ=−C=Φ1+Φ2{\displaystyle \Phi =-C=\Phi _{1}+\Phi _{2}}
С учетом Φ1=n−1R1,Φ2=n−1R2{\displaystyle \Phi _{1}={\frac {n-1}{R_{1}}},\Phi _{2}={\frac {n-1}{R_{2}}}}
, получаем известную формулу для оптической силы линзы: Φ=(n−1)⋅(1R1+1R2){\displaystyle \Phi =(n-1)\cdot ({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}})}.

  • Джеррард А., Бёрч Дж. М. Введение в матричную оптику. М. Мир 1978г. 341с.
  • Салех Б.Е.А., Тейх М.К. Оптика и фотоника. Принципы и применения. Пер. с англ.: Учебное пособие. В 2 т. Долгопрудный: Интеллект, 2012. — 1544 с. — Раздел 1.4, стр. 50-68.

Матричная оптика — Викиучебник

Матричная оптика

Матричная оптика (в дальнейшем МО) представляет собой раздел вычислительной (геометрической) оптики, посвященный синтезу оптических систем, состоящих из отдельных и самостоятельных оптических элементов, свойства которых могут быть представлены соответствующими матрицами.

В основе положений матричной оптики лежит принятое в геометрической оптике понятие о световом луче (луче света) , который может быть представлен в виде световой трубки бесконечно малого сечения, т.е. о трехмерной фигуре, в границах которой распространяется энергия излучения, не выходя за ее боковую поверхность и не проникая через нее извне.

Световой луч может быть представлен, также, в виде пучка траекторий световых частиц (фотонов) также имеющего бесконечно малое сечение.Корпускулярная теория света достаточно хорошо объясняет квантовые свойства света (фотоэффект), но не годится для объяснения формы светового луча, что является основной задачей, решаемой в геометрической оптике. В этом случае неизбежно обращение к закономерностям волновой оптики, рассматривающей распространение световой волны и влияние на неё оптической неоднородности среды, обусловленной различной скоростью распространения излучения в различных ее областях, вызванных различиями показателя преломления.

Показателем преломления среды , в которой распространяется излучение, называется отношение скорости света в вакууме к скорости света в данной среде , а именно: . Поскольку скорость света в вакууме представляет собой наивысшую скорость, достигаемую в природе, то показатель преломления любого вещества всегда больше единицы.

Явление замедления света при его распространении в среде непосредственно вытекает из уравнений Максвелла ,учитывающих свойства среды при распространении электромагнитной волны через диэлектрическую постоянную среды и магнитную проницаемость , как: . Многие оптические среды (но не все) не обладают магнитными свойствами, Для нихи потому .

Волновые свойства света в матричной оптике, равно как и вообще в расчётах в геометрической оптике, учитываются неявным образом, через зависимость показателя преломления от длины волны , а точнее — от частоты , связанных между собой соотношением: . Существенно, что длина волны зависит от показателя преломления среды, а частота не зависит. По крайней мере, до тех пор, пока интенсивность света не станет настолько высокой, что начнут сказываться нелинейные эффекты.

Показатель преломления воздуха близок к единице и потому в геометрической оптике по умолчанию считается, что показатель преломления среды, в которой находятся элементы оптической схемы, равен единице. Это неверно в общем случае, например при расположении части или всей оптической системы в среде с n > 1 (так называемая иммерсия). Однако это в случае однородной (изотропной) оптической среды легко может быть учтено при расчётах в рамках геометрической оптики.

В неоднородной оптической среде, с непостоянным в пространстве и времени распределением показателя преломления (или, как говорят,неравномерной оптической плотностью) наблюдаются отступления от прямолинейности распространения света — искривление луча. В неоднородной атмосфере это проявляется в таких явлениях, как мираж, дрожание изображения вследствие атмосферной турбулентности, (что имеет особое значение для оценки качества астроклимата местности) и рассматривается в атмосферной оптике.МО не рассматривает эти проблемы.

В рамках волновой оптики в большом количестве практически интересных случаев направление светового луча совпадает с нормалью к поверхности волнового фронта, т.е. поверхности, проведённой через точки пространства, в которых фазы колебаний электрического вектора совпадают. Однако в случае особых свойств среды, выражающихся в её дихроизме, нормаль к волновому фронту не совпадает с направлением переноса энергии, т. е направлением светового луча. Это явление изучается в кристаллооптике.МО не рассматривает эти проблемы

В большинстве задач прикладной оптики оптические приборы представляют собой совокупность последовательно расположенных оптических элементов с неизменным показателем преломления, который лишь меняется скачком на границе их оптических (т.е. рабочих) поверхностей. Световой луч, в таком случае, представляет собой ломаную линию, состоящую из отрезков прямых. Как правило, несмотря на требуемое по конструктивным соображением весьма сложное расположение оптических элементов в пространстве, оказывается возможным путём использования приёма геометрической развёртки луча , выделить некоторое генеральное направление в виде прямой линии, называемой оптической осью прибора на его схематическом изображении (оптической схеме).

Если, как это часто бывает, в оптической схеме прибора применены оптические элементы, представляющие собой тела вращения (линзы, вогнутые или выпуклые зеркала), оптическая ось совпадает с прямой, проходящей через центры кривизны поверхностей оптических элементов (если по конструктивным причинам не использовано или же против желания произошло децентрирование этих элементов).

В геометрической оптике предполагается, что граница между оптическими элементами представляет собой гладкую поверхность, которую можно описать функцией, не имеющих разрывов или же, по крайней мере, поверхностью, неровности которой расположены регулярным образом. Поверхности шероховатые, т.е. имеющие хаотическое распределение неровностей, приводят к возникновению рассеяния света, при расчёте хода луча в МО не рассматриваются. Представление о шероховатости весьма относительно, поскольку по мере уменьшения длины волны падающего на поверхность света рассеяние становится всё более заметным. При больших углах падения пучка света на шероховатую (диффузно отражающую) поверхность зеркальная составляющая отраженного света возрастает по интенсивности.Рассеяние, достигающее в некоторых случаях значительной интенсивности, в МО не учитывается.

Форма оптической поверхности в районе точки падения луча может быть представлена участком сферы с радиусом (в общем случае разным в разных точках и равным бесконечности для плоской поверхности), с направлением которого совпадает нормаль к поверхности в заданной её точке При падении луча на гладкую границу раздела двух сред с разными показателями преломления всегда часть света возвращается обратно (явление отражения света) и не всегда проходит во вторую среду (явление преломления света).Упоминание о существовании абсолютно чёрных тел, например — Солнца, не отражающих ничего, не опровергает этого утверждения, поскольку в этом случае нельзя вообще говорить ни о какой поверхности, тем более гладкой.

При рассмотрении единичного луча принято пренебрегать кривизной оптической поверхности и объяснять имеющие при этом изменения направления волнового фронта на основании использования принципа Гюйгенса-Френеля, единым образом описывающего как преломление, так и отражениесвета, рассматриваемого в виде плоских волн, падающих на плоскую же поверхность. Эта плоскость касается искривлённой поверхности в точке падения луча, а нормаль к ней совпадает по направлению с радиусом кривизны поверхности в этой точке. (рис. ) Но пренебрежение кривизной поверхности при рассмотрении нескольких лучей, падающих на разнесённые в пространстве точки неплоской поверхности на том основании, что кривизна поверхности мала, а точки выбраны близко друг к другу ( что постулируется в МО), всегда приводит к грубым ошибкам.

Имеющие при рассмотрении пути луча, падающего на границу двух сред, геометрические соотношения могут быть представлены обобщающей формулой:

, ( 1)

где нижний индекс принимает значения 1 или 2 в зависимости от того, в какой среде распространяется луч, а верхний – говорит о его принадлежности к преобразованному лучу. Направление луча задаётся углами, отсчитываемыми от нормали в точке падения в одну сторону, т. е по часовой стрелке , или против часовой стрелки. Знак угла, равно как и различных отрезков на оптической схеме, является предметом конвенции, по-разному выглядящей для представителей различных школ оптиков-вычислителей.

Как отражённый, так и преломлённыё лучи лежат в плоскости падения, проходящей через падающий луч и нормаль к поверхности в точке встречи луча с поверхностью. Для кривых оптических поверхностей эта плоскость не всегда совпадает с меридиональной плоскостью оптической системы, проходящей через её оптическую ось и точку падения луча. И вообще забвение того факта, что в реальной оптической системе лучи распространяются в трёхмерном пространстве, а не в плоскости листа, на котором изображена оптическая схема, нередко ведёт к ошибкам.Возникающие при этом проблемы рассматриваются в разделе геометрической оптики, относящемся к расчёту аберраций, что выходит за рамки применения МО.

Преимущество матричного подхода перед традиционно принятым методом скрупулёзного расчёта изменения направления луча на каждой оптической поверхности заключается в существенном упрощении процесса конструирования оптимальной оптической схемы путём быстрого выбора возможных вариантов на начальной его стадии. Ограничения применения обусловлены свойственной параксиальному приближению трудностями с проведением аберрационного расчёта системы с учётом свойств реально выбранных ее элементов.

Источник:

  • F.und L. Pedrotti; Werner Bausch;Hartmut Schmidt Optik: eine Einführung: 1-Aufl.-London; Mexiko; New York; Singapur; Sydney;Toronto: Prentice Hall,1999 ISBN 3-8272-9510-6
  • D.Kühlke Optik. Grundlagen und Anwendungen:- Verlag Harri Deutsch. Frankfurt am Main.2004. ISBN 3-8171-1741-8
  • Dieter Meschede Optik,Licht und Laser: Teubner Verlag_ Wiesbaden 2005 ISBN 3-519-13248-6

Матричная оптика — это… Что такое Матричная оптика?

Матричная оптика — математический аппарат расчета оптических систем различной сложности.

Принцип

Пусть известно направление распространения светового луча перед оптической системой. Пусть — «высота» луча над главной оптической осью системы, — приведенный угол: , где — угол между направлением распространения луча и главной оптической осью системы, n — показатель преломления среды в данной точке. Тогда соответствующие координаты луча после прохождения оптической системы связаны с исходными матричным уравнением:
, где — матрица оптической системы. Определитель любой матрицы оптической системы равен 1.

Матрицы простейших оптических систем

Сферическая преломляющая поверхность

, , где и — показатели преломления среды(Подразумевается, что луч переходит из среды с в среду с ), R — алгебраический радиус кривизны поверхности( R > 0, если падающий луч и радиус-вектор в центр кривизны поверхности сонаправлены, и R < 0 в противном случае).

Сферическое зеркало

, , где — показатель преломления среды, R — алгебраический радиус кривизны.

Трансляция

Трансляцией называется прямолинейное распространение луча между преломлениями/отражениями,например, между двумя линзами.
, , d — длина трансляции, n — показатель преломления.

Применение метода

Итоговая матрица оптической системы есть произведение матриц отдельных простейших элементов, причем в порядке, противоположном порядку этих элементов, т. е. , где — матрица i-того оптического элемента, считая от положения падающего на систему луча.
Оптическая сила оптической системы:

— общее условие формирования изображения в данной точке. В данном случае A есть увеличение системы.

Расчет оптической силы толстой линзы матричным методом

Пусть линза с радиусами кривизны (для определенности — двояковыпуклая), толщиной d, из материала с показателем преломления n находится в воздухе. Тогда оптическая система состоит из трех простейших элементов — двух преломляющих поверхностей и трансляции внутри линзы. Имеем:


Матрица всей оптической системы:

Отсюда оптическая сила толстой линзы:

Для тонкой линзы третьим слагаемым можно пренебречь:

С учетом
, получаем известную формулу для оптической силы линзы: .

Литература

  • Джеррард А., Бёрч Дж. М. Введение в матричную оптику. М. Мир 1978г. 341с.

Рисуем светом фар: что такое цифровая адаптивная оптика

Адаптивную оптику Digital Light HD представили еще в 2016 году, а на Женевском автосалоне в 2018-м можно было увидеть уже серийный MercedesMaybach с этой опцией. Но подробностей об устройстве новаторского головного освещения до сих пор крайне мало. Почему? Мы решили разобраться с этим вопросом.

Матричная светодиодная оптика понемногу отвоевывает себе место под солнцем. Адаптивное освещение благодаря компании Hella и ее технологии светодиодного матричного источника света в 2013 году сделало рывок вперед: отныне стало возможно регулировать не только ближний/дальний свет, а также силу и угол свечения, но и отдельно обрабатывать несколько десятков зон в секторе освещения каждой фары. Об этой технологии мы уже писали, однако кратко напомним, в чем ее суть.

Рисуем светом фар: что такое цифровая адаптивная оптика

В фаре расположено несколько десятков светодиодов: в последней версии их 84 штуки, три ряда на плате с системой охлаждения и управления. Оптическая система представляет собой сложную линзу с индивидуальными участками для каждого светодиода. Управление системой осуществляет мощный компьютер, который на основании данных лидаров, камер и навигации определяет наличие на дороге других машин, пешеходов, разметки, поворотов, участков повышенного внимания и позволяет творить настоящие чудеса.

Встречные машины не ослепляются, как и попутные, подсвечиваются знаки, вблизи система не дает их световозвращающему слою слепить водителя, освещаются пешеходы и животные, препятствия, пешеходные переходы и другие важные объекты. В туман и в дождь система старается не слепить водителя, обеспечивая наиболее комфортную форму светового потока. Ну и разумеется, осуществляется подсветка поворотов благодаря форме светового пучка, зависящего от режима движения. Такая система уже позволяет ехать ночью как днем, а водитель не устает даже на сложной неосвещенной трассе.

Рисуем светом фар: что такое цифровая адаптивная оптика

Технология недолго оставалась эксклюзивной — почивать на лаврах немцам не дали. Компания Magneti Marelli в 2017 году представила серийную систему Partial High Beam 84 (она же — PHB 84), не уступающую топовой матричной системе Hella и даже превосходящую ее по возможностям системы управления. Именно ее применили на новом S-Class после рестайлинга 2017 года и выбрали для нового поколения Porsche 911.

 

От фары к проектору

Было решено, что можно увеличить количество секторов освещения в самой востребованной зоне до современного ТВ-стандарта, то есть до HD-картинки. По всей зоне освещения это и не требуется, но в ближнем диапазоне можно подсветить особо важные элементы, буквально «нарисовать» на дороге любые подсказки для водителя, а также для водителей соседних автомобилей и пешеходов. А на скоростной трассе — обеспечить усиленное освещение дороги в узкой зоне на максимальное расстояние.

Рисуем светом фар: что такое цифровая адаптивная оптика

Головной свет на Mercedes-Maybach: мировая премьера фар с функциями освещения в высоком разрешении
Перевод (слева направо):

— DMD-модуль h-Digi разрешением 1,3 мегапикселей
— 84-пиксельный матричный модуль
— источники основного света

К сожалению, светодиодная матричная технология пока не готова к таким испытаниям. Мощность светодиодов основной матрицы и так ограничена. Им помогают крупные «силовые» элементы формирования базового светового потока — городского «широкого», «ближнего» и «дальнего», а сделать больше светодиодов при сохранении нужной степени освещенности пока не получается. Значит, надо менять технологию.

Рисуем светом фар: что такое цифровая адаптивная оптика

DLP-модуль h-Digi, встраиваемый в головные фары Mercedes-Maybach

Компания Magneti Marelli первой применила DLP-разработку для обеспечения светового потока с высоким разрешением. Не слышали о такой? Раньше она не использовалась в автомобилях, однако вы наверняка сталкивались с ней в обычной жизни. DLP расшифровывается как Digital Light Processing, а появилась эта технологи в далеком 1987 году и получила широкое распространение… в проекторах.

Основа системы DLP — специальная матрица Digital Micromirror Device, микросхема с поверхностью из микрозеркал, которые ведут себя как модуль памяти SRAM в компьютерах. На них можно записать информацию и после считать ее лучом света. Каждое зеркало может отклоняться на угол до 20°, так что отраженный свет можно направить или в объектив, или мимо.

Рисуем светом фар: что такое цифровая адаптивная оптика

Наложение световых проекций и дополнительная генерация световых функций для полного распределения света через три модуля: h-Digi, матричного света и основных источников

DMD-матрица чрезвычайно компактная: каждое зеркало имеет микронные размеры и работает с очень высокой частотой, до сотен герц, обеспечивая очень высокое разрешение — на данный момент это 1.3Mpx, и есть потенциал для развития. В сочетании с мощными быстродействующими импульсными светодиодами получается экономичное и надежное решение. Матрица не любит сильного нагрева, но светодиоды гораздо холоднее галогенных ламп и позволяют отказаться от механических прерывателей-светофильтров для формирования цветного изображения.

Впрочем, для освещения дороги нужен просто свет, цветное изображение не требуется. Такой проектор с разрешением 1.3Mpx и светодиодным источником освещения из трех диодов и образует модуль h-Digi производства Magneti Marelli. Он отвечает за формирование ближней зоны освещения, а также дальний свет в узкой центральной зоне фары Mercedes-Maybach. А вот за остальную часть светового пятна — модуль PHB 84 и три дополнительных больших светодиода с базовыми зонами освещения. Дополняет все это продвинутая электронная система управления, которая позволяет не только заниматься непосредственно освещением, но и коммуницировать с окружающими.

Рисуем светом фар: что такое цифровая адаптивная оптика

Результат можно увидеть на видео, которое представлено на сайте компании. Такие эффекты увидишь не в каждом фантастическом фильме: сценаристы просто не предполагали, что такое возможно!

В каждой фаре головного освещения Maybach сочетаются обе технологии Magneti Marelli. DLP-система дополняет матричную оптику, расширяя функционал и позволяя претендовать на лавры самой прогрессивной серийной технологии головного света.

 

Рисуем светом фар: что такое цифровая адаптивная оптика

Каков итог?

У итальянской компании давно есть свои интересы на рынке осветительных приборов для автомобилей. Принадлежащая ей с 1998 года торговая марка Carello хорошо известна в Европе. В портфолио компании много передовых вариантов матричных технологий и лазерного дальнего света. Так, она поставляет матричную оптику для Audi, а также матричную оптику с «лазерным» дальним светом для нового BMW i8.

Почему такая таинственность? Есть подозрение, что Magneti Marelli нарушает давнюю монополию Hella на поставку оптики для Mercedes-Benz, а немецкая компания старается лишний раз не подчеркивать этот факт, никак не афишируя нового технологического партнера. Тем более что у Hella вряд ли закончились перспективные идеи.

 

Рисуем светом фар: что такое цифровая адаптивная оптика

Что будет дальше?

Специалисты компаний Automotive Lighting и Texas Instruments уже разработали для Mercedes-Benz фары с миллионом (!) световых точек.

Сильноточные светодиоды посылают свет на миллион крошечных зеркал. Каждое из них можно отрегулировать на плюс-минус 10 градусов. Из этих микрозеркал направленный свет попадает на модуль с так называемыми световыми пикселями, отражается через большую линзу и попадает на дорогу. Казалось бы, очень сложно и хрупко, но в Mercedes уверяют, что вибрации от автомобиля или плохой дороги не влияют на зеркала, так как их масса настолько мала, что у них попросту нет собственного момента инерции. Фактически из фары выходит миллион отдельно управляемых лучей.

Матричная оптика — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Матричная оптика — математический аппарат расчета оптических систем различной сложности.

Принцип

Пусть известно направление распространения светового луча перед оптической системой. Пусть y1{\displaystyle y_{1}} — «высота» луча над главной оптической осью системы, v1{\displaystyle v_{1}} — приведенный угол: v1=n×α{\displaystyle v_{1}=n\times \alpha }, где α{\displaystyle \alpha } — угол между направлением распространения луча и главной оптической осью системы, n — показатель преломления среды в данной точке. Тогда соответствующие координаты луча после прохождения оптической системы связаны с исходными матричным уравнением:
[y2v2]=[ABCD]×[y1v1]{\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{2}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}y_{1}\\v_{1}\end{bmatrix}}},

где [ABCD]{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}} — матрица оптической системы, также именуемая матрица передачи луча.

Определитель матрицы оптической системы равен отношению показателей преломления на входе и на выходе системы, обычно это отношение равно 1. Матричное преобразование — это приближенное линейное описание системы. Оно работает, в частности, когда выполняется параксиальное приближение.

Матрицы простейших оптических систем

Сферическая преломляющая поверхность

M=[10−Φ11]{\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{1}&1\end{bmatrix}}}, Φ1=n2−n1R{\displaystyle \Phi _{1}={\frac {n_{2}-n_{1}}{R}}}, где n1{\displaystyle n_{1}} и n2{\displaystyle n_{2}} — показатели преломления среды (Подразумевается, что луч переходит из среды с n1{\displaystyle n_{1}} в среду с n2{\displaystyle n_{2}}), R — алгебраический радиус кривизны сферической поверхности (R > 0 для выпуклой поверхности, когда сонаправлены падающий луч и радиус-вектор в центр кривизны поверхности, и R < 0 для вогнутой поверхности).

Сферическое зеркало

M=[10−Φ21]{\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{2}&1\end{bmatrix}}}, Φ2=−2⋅nR{\displaystyle \Phi _{2}=-{\frac {2\cdot n}{R}}}, где n{\displaystyle n} — показатель преломления среды, R — алгебраический радиус кривизны (см. выше).

Трансляция

Трансляцией называется прямолинейное распространение луча между преломлениями/отражениями,например, между двумя линзами.
M=[1T01]{\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&T\\0&1\end{bmatrix}}}, T=dn{\displaystyle T={\frac {d}{n}}}, d — длина трансляции, n — показатель преломления.

Применение метода

Итоговая матрица оптической системы есть произведение матриц отдельных простейших элементов, причем в порядке, противоположном порядку этих элементов, т. е. M=Mn×⋅⋅⋅×M2⋅M1{\displaystyle M=M_{n}\times \cdot \cdot \cdot \times M_{2}\cdot M_{1}}, где Mi{\displaystyle M_{i}} — матрица i-того оптического элемента, считая от положения падающего на систему луча.
Оптическая сила оптической системы:
Φ=−C{\displaystyle \Phi =-C}
B=0,y2=A⋅y1{\displaystyle B=0,y_{2}=A\cdot y_{1}} — общее условие формирования изображения в данной точке. В данном случае A есть увеличение системы.

Расчет оптической силы толстой линзы матричным методом

Пусть линза с радиусами кривизны R1,R2{\displaystyle R_{1},R_{2}} (для определенности — двояковыпуклая), толщиной d, из материала с показателем преломления n находится в воздухе. Тогда оптическая система состоит из трех простейших элементов — двух преломляющих поверхностей и трансляции внутри линзы. Имеем: M1=[10−Φ11]{\displaystyle M_{1}={\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{1}&1\end{bmatrix}}}
M2=[1T01]{\displaystyle M_{2}={\begin{bmatrix}1&T\\0&1\end{bmatrix}}}
M3=[10−Φ21]{\displaystyle M_{3}={\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{2}&1\end{bmatrix}}}
Матрица всей оптической системы:
M=M3⋅M2⋅M1=[10−Φ21]×[1T01]×[10−Φ11]=[1−TΦ1TTΦ1Φ2−Φ1−Φ21−TΦ2]{\displaystyle M=M_{3}\cdot M_{2}\cdot M_{1}={\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{2}&1\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1&T\\0&1\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{1}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-T\Phi _{1}&T\\T\Phi _{1}\Phi _{2}-\Phi _{1}-\Phi _{2}&1-T\Phi _{2}\end{bmatrix}}}
Отсюда оптическая сила толстой линзы:
Φ=−C=Φ1+Φ2−dΦ1Φ2n{\displaystyle \Phi =-C=\Phi _{1}+\Phi _{2}-{\frac {d\Phi _{1}\Phi _{2}}{n}}}
Для тонкой линзы третьим слагаемым можно пренебречь:
Φ=−C=Φ1+Φ2{\displaystyle \Phi =-C=\Phi _{1}+\Phi _{2}}
С учетом Φ1=n−1R1,Φ2=n−1R2{\displaystyle \Phi _{1}={\frac {n-1}{R_{1}}},\Phi _{2}={\frac {n-1}{R_{2}}}}
, получаем известную формулу для оптической силы линзы: Φ=(n−1)⋅(1R1+1R2){\displaystyle \Phi =(n-1)\cdot ({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}})}.

Литература

  • Джеррард А., Бёрч Дж. М. Введение в матричную оптику. М. Мир 1978г. 341с.
  • Салех Б.Е.А., Тейх М.К. Оптика и фотоника. Принципы и применения. Пер. с англ.: Учебное пособие. В 2 т. Долгопрудный: Интеллект, 2012. — 1544 с. — Раздел 1.4, стр. 50-68.

Матричная оптика — Википедия. Что такое Матричная оптика

Матричная оптика — математический аппарат расчета оптических систем различной сложности.

Принцип

Пусть известно направление распространения светового луча перед оптической системой. Пусть y1{\displaystyle y_{1}} — «высота» луча над главной оптической осью системы, v1{\displaystyle v_{1}} — приведенный угол: v1=n×α{\displaystyle v_{1}=n\times \alpha }, где α{\displaystyle \alpha } — угол между направлением распространения луча и главной оптической осью системы, n — показатель преломления среды в данной точке. Тогда соответствующие координаты луча после прохождения оптической системы связаны с исходными матричным уравнением:
[y2v2]=[ABCD]×[y1v1]{\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{2}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}y_{1}\\v_{1}\end{bmatrix}}},

где [ABCD]{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}} — матрица оптической системы, также именуемая матрица передачи луча.

Определитель матрицы оптической системы равен отношению показателей преломления на входе и на выходе системы, обычно это отношение равно 1. Матричное преобразование — это приближенное линейное описание системы. Оно работает, в частности, когда выполняется параксиальное приближение.

Матрицы простейших оптических систем

Сферическая преломляющая поверхность

M=[10−Φ11]{\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{1}&1\end{bmatrix}}}, Φ1=n2−n1R{\displaystyle \Phi _{1}={\frac {n_{2}-n_{1}}{R}}}, где n1{\displaystyle n_{1}} и n2{\displaystyle n_{2}} — показатели преломления среды (Подразумевается, что луч переходит из среды с n1{\displaystyle n_{1}} в среду с n2{\displaystyle n_{2}}), R — алгебраический радиус кривизны сферической поверхности (R > 0 для выпуклой поверхности, когда сонаправлены падающий луч и радиус-вектор в центр кривизны поверхности, и R < 0 для вогнутой поверхности).

Сферическое зеркало

M=[10−Φ21]{\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{2}&1\end{bmatrix}}}, Φ2=−2⋅nR{\displaystyle \Phi _{2}=-{\frac {2\cdot n}{R}}}, где n{\displaystyle n} — показатель преломления среды, R — алгебраический радиус кривизны (см. выше).

Трансляция

Трансляцией называется прямолинейное распространение луча между преломлениями/отражениями,например, между двумя линзами.
M=[1T01]{\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&T\\0&1\end{bmatrix}}}, T=dn{\displaystyle T={\frac {d}{n}}}, d — длина трансляции, n — показатель преломления.

Применение метода

Итоговая матрица оптической системы есть произведение матриц отдельных простейших элементов, причем в порядке, противоположном порядку этих элементов, т. е. M=Mn×⋅⋅⋅×M2⋅M1{\displaystyle M=M_{n}\times \cdot \cdot \cdot \times M_{2}\cdot M_{1}}, где Mi{\displaystyle M_{i}} — матрица i-того оптического элемента, считая от положения падающего на систему луча.
Оптическая сила оптической системы:
Φ=−C{\displaystyle \Phi =-C}
B=0,y2=A⋅y1{\displaystyle B=0,y_{2}=A\cdot y_{1}} — общее условие формирования изображения в данной точке. В данном случае A есть увеличение системы.

Расчет оптической силы толстой линзы матричным методом

Пусть линза с радиусами кривизны R1,R2{\displaystyle R_{1},R_{2}} (для определенности — двояковыпуклая), толщиной d, из материала с показателем преломления n находится в воздухе. Тогда оптическая система состоит из трех простейших элементов — двух преломляющих поверхностей и трансляции внутри линзы. Имеем: M1=[10−Φ11]{\displaystyle M_{1}={\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{1}&1\end{bmatrix}}}
M2=[1T01]{\displaystyle M_{2}={\begin{bmatrix}1&T\\0&1\end{bmatrix}}}
M3=[10−Φ21]{\displaystyle M_{3}={\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{2}&1\end{bmatrix}}}
Матрица всей оптической системы:
M=M3⋅M2⋅M1=[10−Φ21]×[1T01]×[10−Φ11]=[1−TΦ1TTΦ1Φ2−Φ1−Φ21−TΦ2]{\displaystyle M=M_{3}\cdot M_{2}\cdot M_{1}={\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{2}&1\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1&T\\0&1\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{1}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-T\Phi _{1}&T\\T\Phi _{1}\Phi _{2}-\Phi _{1}-\Phi _{2}&1-T\Phi _{2}\end{bmatrix}}}
Отсюда оптическая сила толстой линзы:
Φ=−C=Φ1+Φ2−dΦ1Φ2n{\displaystyle \Phi =-C=\Phi _{1}+\Phi _{2}-{\frac {d\Phi _{1}\Phi _{2}}{n}}}
Для тонкой линзы третьим слагаемым можно пренебречь:
Φ=−C=Φ1+Φ2{\displaystyle \Phi =-C=\Phi _{1}+\Phi _{2}}
С учетом Φ1=n−1R1,Φ2=n−1R2{\displaystyle \Phi _{1}={\frac {n-1}{R_{1}}},\Phi _{2}={\frac {n-1}{R_{2}}}}
, получаем известную формулу для оптической силы линзы: Φ=(n−1)⋅(1R1+1R2){\displaystyle \Phi =(n-1)\cdot ({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}})}.

Литература

  • Джеррард А., Бёрч Дж. М. Введение в матричную оптику. М. Мир 1978г. 341с.
  • Салех Б.Е.А., Тейх М.К. Оптика и фотоника. Принципы и применения. Пер. с англ.: Учебное пособие. В 2 т. Долгопрудный: Интеллект, 2012. — 1544 с. — Раздел 1.4, стр. 50-68.

Матричная оптика — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Матричная оптика — математический аппарат расчета оптических систем различной сложности.

Принцип

Пусть известно направление распространения светового луча перед оптической системой. Пусть y1{\displaystyle y_{1}} — «высота» луча над главной оптической осью системы, v1{\displaystyle v_{1}} — приведенный угол: v1=n×α{\displaystyle v_{1}=n\times \alpha }, где α{\displaystyle \alpha } — угол между направлением распространения луча и главной оптической осью системы, n — показатель преломления среды в данной точке. Тогда соответствующие координаты луча после прохождения оптической системы связаны с исходными матричным уравнением:
[y2v2]=[ABCD]×[y1v1]{\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{2}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}y_{1}\\v_{1}\end{bmatrix}}},

где [ABCD]{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}} — матрица оптической системы, также именуемая матрица передачи луча.

Определитель матрицы оптической системы равен отношению показателей преломления на входе и на выходе системы, обычно это отношение равно 1. Матричное преобразование — это приближенное линейное описание системы. Оно работает, в частности, когда выполняется параксиальное приближение.

Матрицы простейших оптических систем

Сферическая преломляющая поверхность

M=[10−Φ11]{\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{1}&1\end{bmatrix}}}, Φ1=n2−n1n2∗R{\displaystyle \Phi _{1}={\frac {n_{2}-n_{1}}{n_{2}*R}}}, где n1{\displaystyle n_{1}} и n2{\displaystyle n_{2}} — показатели преломления среды (Подразумевается, что луч переходит из среды с n1{\displaystyle n_{1}} в среду с n2{\displaystyle n_{2}}), R — алгебраический радиус кривизны сферической поверхности (R > 0 для выпуклой поверхности, когда сонаправлены падающий луч и радиус-вектор в центр кривизны поверхности, и R < 0 для вогнутой поверхности).

Сферическое зеркало

M=[10−Φ21]{\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{2}&1\end{bmatrix}}}, Φ2=−2⋅nR{\displaystyle \Phi _{2}=-{\frac {2\cdot n}{R}}}, где n{\displaystyle n} — показатель преломления среды, R — алгебраический радиус кривизны (см. выше).

Трансляция

Трансляцией называется прямолинейное распространение луча между преломлениями/отражениями,например, между двумя линзами.
M=[1T01]{\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&T\\0&1\end{bmatrix}}}, T=dn{\displaystyle T={\frac {d}{n}}}, d — длина трансляции, n — показатель преломления.

Применение метода

Итоговая матрица оптической системы есть произведение матриц отдельных простейших элементов, причем в порядке, противоположном порядку этих элементов, т. е. M=Mn×⋅⋅⋅×M2⋅M1{\displaystyle M=M_{n}\times \cdot \cdot \cdot \times M_{2}\cdot M_{1}}, где Mi{\displaystyle M_{i}} — матрица i-того оптического элемента, считая от положения падающего на систему луча.
Оптическая сила оптической системы:
Φ=−C{\displaystyle \Phi =-C}
B=0,y2=A⋅y1{\displaystyle B=0,y_{2}=A\cdot y_{1}} — общее условие формирования изображения в данной точке. В данном случае A есть увеличение системы.

Расчет оптической силы толстой линзы матричным методом

Пусть линза с радиусами кривизны R1,R2{\displaystyle R_{1},R_{2}} (для определенности — двояковыпуклая), толщиной d, из материала с показателем преломления n находится в воздухе. Тогда оптическая система состоит из трех простейших элементов — двух преломляющих поверхностей и трансляции внутри линзы. Имеем:

M1=[10−Φ11]{\displaystyle M_{1}={\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{1}&1\end{bmatrix}}}
M2=[1T01]{\displaystyle M_{2}={\begin{bmatrix}1&T\\0&1\end{bmatrix}}}
M3=[10−Φ21]{\displaystyle M_{3}={\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{2}&1\end{bmatrix}}}
Матрица всей оптической системы:
M=M3⋅M2⋅M1=[10−Φ21]×[1T01]×[10−Φ11]=[1−TΦ1TTΦ1Φ2−Φ1−Φ21−TΦ2]{\displaystyle M=M_{3}\cdot M_{2}\cdot M_{1}={\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{2}&1\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1&T\\0&1\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{1}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-T\Phi _{1}&T\\T\Phi _{1}\Phi _{2}-\Phi _{1}-\Phi _{2}&1-T\Phi _{2}\end{bmatrix}}}
Отсюда оптическая сила толстой линзы:
Φ=−C=Φ1+Φ2−dΦ1Φ2n{\displaystyle \Phi =-C=\Phi _{1}+\Phi _{2}-{\frac {d\Phi _{1}\Phi _{2}}{n}}}
Для тонкой линзы третьим слагаемым можно пренебречь:
Φ=−C=Φ1+Φ2{\displaystyle \Phi =-C=\Phi _{1}+\Phi _{2}}
С учетом Φ1=n−1R1,Φ2=n−1R2{\displaystyle \Phi _{1}={\frac {n-1}{R_{1}}},\Phi _{2}={\frac {n-1}{R_{2}}}}
, получаем известную формулу для оптической силы линзы: Φ=(n−1)⋅(1R1+1R2){\displaystyle \Phi =(n-1)\cdot ({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}})}.

Литература

  • Джеррард А., Бёрч Дж. М. Введение в матричную оптику. М. Мир 1978г. 341с.
  • Салех Б.Е.А., Тейх М.К. Оптика и фотоника. Принципы и применения. Пер. с англ.: Учебное пособие. В 2 т. Долгопрудный: Интеллект, 2012. — 1544 с. — Раздел 1.4, стр. 50-68.

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о